3.3 Logarithmen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Selected tab|[[3.3 Logarithms|Theory]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[3.3 Logarithmen|Theorie]]}}
-
{{Not selected tab|[[3.3 Exercises|Exercises]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[3.3 Übungen|Übungen]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Logarithms
+
* Logarithmen
-
* Fundamental Laws of Logarithms
+
* Die Logarithmengesetze
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele:'''
-
After this section, you will have learned:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*The concepts of base and exponent.
+
*Mit Basen und Exponenten rechnen
-
*The meaning of the notation <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> and <math>\log_{a}</math>.
+
*Die Bedeutung der Ausdrücke <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> und <math>\log_{a}</math> kennen.
-
*To calculate simple logarithmic expressions using the definition of a logarithm.
+
*Einfache Logarithmen mit der Definition des Logarithmus berechnen.
-
*That logarithms are only defined for positive numbers.
+
*Wissen, dass Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.
-
* The meaning of the number <math>e</math>.
+
*Die Bedeutung der Zahl <math>e</math> kennen.
-
* To use the laws of logarithms to simplify logarithmic expressions.
+
*Die Logarithmengesetze verwenden, um logarithmische Ausdrücke zu vereinfachen.
-
* To know when the laws of logarithms are valid.
+
*Wissen, wann die Logarithmengesetze gültig sind.
-
* To express a logarithm in terms of a logarithm with a different base.
+
*Basis von Logarithmen ändern
}}
}}
-
==Logarithms to the base 10 ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
We often use powers with base <math>10</math> to represent large and small numbers, for example,
+
== A - Logarithmus zur Basis 10 ==
-
+
 
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
Oft verwendet man Potenzen mit der Basis <math>10</math>, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:
-
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
+
 
-
10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\end{align*}</math>}}
+
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
 +
10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.}
 +
\end{align*}</math>}}
-
If one only considers the exponents one can state that
+
Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:
-
:::"the exponent for 1000 is 3", or
+
:::"der Exponent von 1000 3 ist", oder dass
-
:::"the exponent for 0.01 is -2".
+
:::"der Exponent von 0,01 -2 ist".
-
This is how logarithms are defined. One formalises this as follows:
+
Genauso wird der Logarithmus definiert. Formaler geschrieben haben wir:
-
:::"''The logarithm'' of 1000 is 3", which is written as <math>\lg 1000 = 3</math>,
+
:::"''Der Logarithmus'' von 1000 ist 3". Dies schreibt man <math>\lg 1000 = 3</math>,
-
:::"''The logarithm'' of 0.01 is -2", which is written as <math>\lg 0\textrm{.}01 = -2</math>.
+
:::"''Der Logarithmus'' von 0.01 ist -2". Dies schreibt man <math>\lg 0\textrm{.}01 = -2</math>.
-
More generally, one says:
+
Allgemeiner gilt folgendes:
-
:::The logarithm of a number <math>y</math> is designated by <math>\lg y</math> and is the exponent in the blue box which satisfies the equality
+
:::Der Logarithmus einer Zahl <math>y</math> wird <math>\lg y</math> genannt und ist der Exponent, der die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} </math>}}
-
Note that <math>y</math> must be a positive number for the logarithm <math>\lg y</math> to be defined, since there is no power of 10 that evaluates to a negative number or for that matter zero .
+
erfüllt. <math>y</math> muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus <math>\lg y</math> definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> denn <math>
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
-
= 100\,000</math>.</li>
+
= 100\,000</math></li>
-
<li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> denn <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
-
= 0\textrm{.}0001</math>.</li>
+
= 0\textrm{.}0001</math></li>
-
<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> denn <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math>.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math></li>
-
<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> denn <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math></li>
-
<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> denn <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
-
= 10^{78}</math>.</li>
+
= 10^{78}</math></li>
-
<li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> because <math>
+
<li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> denn <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math>.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math></li>
-
<li><math>\lg (-10)</math> does not exist because <math>
+
<li><math>\lg (-10)</math> existiert nicht, da <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> can never be -10 regardless of how <math>a</math> is chosen.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> nie -10 werden kann, egal wie man <math>a</math> wählt</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
In the penultimate example, one can easily understand that <math>\lg 50</math> must lie somewhere between 1 and 2 since <math>10^1 < 50 < 10^2</math>, but to obtain a more precise value of the irrational number <math>\lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots</math> one needs in practice, a calculator (or table.)
+
Im Beispiel oben kann man leicht sehen, dass <math>\lg 50</math> zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem <math>10^1 < 50 < 10^2</math>. Um einen genaueren Wert von <math>\lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots</math> zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 91: Zeile 93:
-
== Different bases ==
+
== B - Verschiedene Basen ==
-
One can imagine logarithms, which use a base other than 10 (except 1!). One must clearly indicate which number is used as a base for a logarithm. If one uses a base such as 2 one uses the notation <math>\log_{\,2}</math> for a "base-2 logarithm".
+
Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math> und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> because <math>
+
<li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2}
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2}
= \frac{1}{4}</math>.</li>
= \frac{1}{4}</math>.</li>
Zeile 111: Zeile 113:
</div>
</div>
-
One deals with logarithms which have other bases in the same way.
+
Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz ähnlich.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> because <math>
+
<li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> denn <math>
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li>
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li>
-
<li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> because <math>
+
<li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> denn <math>
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li>
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li>
-
<li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> because <math>
+
<li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> denn <math>
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2}
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2}
= \frac{1}{16}</math>.</li>
= \frac{1}{16}</math>.</li>
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad
-
</math> as <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}}
+
</math> denn <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}}
-
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (if <math>b>0</math> and <math>b\not=1</math>).</li>
+
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (wenn <math>b>0</math> und <math>b\not=1</math>).</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
If the base 10 is used, one rarely writes <math>\log_{\,10}</math>, but as we have previously seen one uses the notation lg, or simply log, which appears on many calculators.
+
Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten <math>\log_{\,10}</math>, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log.
-
==The natural logarithms ==
+
== C - Der natürliche Logarithmus ==
-
In practice there are two bases that are commonly used for logarithms, 10 and the number <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Logarithms using the base ''e'' are called '' natural logarithms'' and one uses the notation ln instead of <math>\log_{\,e}</math>.
+
Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Die Logarithmen zur Basis ''e'' werden ''natürliche Logarithmen'' genannt. Statt <math>\log_{\,e}</math> schreibt man <math>\ln</math>, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> denn <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li>
-
<li><math> \ln e = 1\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln e = 1\quad</math> denn <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li>
-
<li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> denn <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}}
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}}
= \frac{1}{e^3}</math>.</li>
= \frac{1}{e^3}</math>.</li>
-
<li><math> \ln 1 = 0\quad</math> because <math>
+
<li><math> \ln 1 = 0\quad</math> denn <math> e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
-
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
+
<li>Wenn <math>y= e^{\,a}</math> dann ist <math>a = \ln y</math>.</li>
-
<li>If <math>y= e^{\,a}</math> then <math>a = \ln y</math>.</li>
+
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li>
Zeile 156: Zeile 157:
</div>
</div>
-
Most advanced calculators usually have buttons for 10-logarithms and natural logarithms.
+
Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.
-
== Laws of Logarithms ==
+
== D - Logarithmengesetze ==
-
Between the years 1617 and 1624 Henry Biggs published a table of logarithms for all integers up to 20 000, and in 1628 Adriaan Vlacq expanded the table for all integers up to 100 000. The reason such an enormous amount of work was invested in producing these tables is that with the help of logarithms one can multiply numbers together just by adding their logarithms (addition goes much faster to perform than multiplication).
+
In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
Calculate <math>\,35\cdot 54</math>.
+
Berechnen Sie <math>\,35\cdot 54</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
If we know that <math>35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441}</math> and <math>54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324}</math> (i.e. <math>\lg 35 \approx 1\textrm{.}5441</math> and <math>\lg 54 \approx 1\textrm{.}7324</math>) then we can calculate that
+
Wenn wir wissen, dass <math>35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441}</math> und <math>54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324}</math> (also <math>\lg 35 \approx 1\textrm{.}5441</math> und <math>\lg 54 \approx 1\textrm{.}7324</math>), können wir das Produkt einfach berechnen:
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324}
+
35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324}
-
= 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324}
+
= 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324}
-
= 10^{\,3\textrm{.}2765}</math>}}
+
= 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.</math>}}
-
and we then know that <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (i.e. <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) thus we have managed to calculate the product
+
Wenn wir auch wissen, dass <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (also <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) haben wir es geschafft, das Produkt
-
{{Fristående formel||<math>35 \cdot 54 = 1890</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>35 \cdot 54 = 1890</math>}}
-
and this just by adding together exponents <math>1\textrm{.}5441</math> and <math>1\textrm{.}7324</math>.
+
nur mit Addition der Exponenten <math>1\textrm{.}5441</math> und <math>1\textrm{.}7324</math> zu berechnen.
</div>
</div>
-
This is an example of a logarithmic law which says that
+
Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich
-
{{Fristående formel||<math>\log (ab) = \log a + \log b</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\log (ab) = \log a + \log b</math>}}
-
This stems from the fact that on the one hand,
+
Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b}
+
a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} =
-
= \left\{ \mbox{laws of exponents} \right\}
+
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}
-
= 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}
+
-
and on the other hand,
+
aber anderseits haben wir auch
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}
+
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}
-
By exploiting the laws of exponents in this way can we obtain the corresponding ''laws of logarithms'':
+
Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
+
\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
-
\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
+
\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
-
\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
+
\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
The laws of logarithms apply regardless of base.
+
Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 223: Zeile 223:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 8'''
+
'''Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 257: Zeile 257:
-
== Changing the base ==
+
== E - Basis ändern ==
-
It sometimes can be a good idea to express a logarithm as a logarithm having another base.
+
Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Express <math>\lg 5</math> as a natural logarithm.
+
<li> Schreibe <math>\lg 5</math> als einen natürlichen Logarithmus.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
By definition, the <math>\lg 5</math> is a number that satisfies the equality
+
Laut Definition ist <math>\lg 5</math> die Zahl, die die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}</math>}}
-
Take the natural logarithm ( ln ) of both sides.
+
erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
+
-
With the help of the logarithm law <math>\ln a^b = b \ln a</math> the left-hand side can be written as <math>\lg 5 \cdot \ln 10</math> and the equality becomes
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Now divide both sides by <math>\ln 10</math> giving the answer
+
Mit dem Logarithmengesetz <math>\ln a^b = b \ln a</math> schreiben wir die linke Seite wie <math>\lg 5 \cdot \ln 10</math> und bekommen die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>
+
 
-
\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
-
\qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,
+
 
-
\quad\text{dvs.}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}
+
Division durch <math>\ln 10</math> ergibt die Antwort
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
 +
\qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,
 +
\quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}
</math>}}</li>
</math>}}</li>
-
<li> Express the 2-logarithm of 100 as a 10-logarithm lg.
+
<li> Schreibe den 2-Logarithmus von 100 als einen 10-Logarithmus, lg.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Using the definition of a logarithm one has that <math>\log_2 100</math> formally satisfies
+
Laut Definition des Logarithmus steht fest, dass <math>\log_2 100</math> die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100</math>}}
-
and taking the 10-logarithm (lg) of both sides, one gets
+
erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}
+
\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}
-
Since <math>\lg a^b = b \lg a</math> one gets <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> and the right-hand side can be simplified to <math>\lg 100 = 2</math>. This gives the equality
+
Nachdem <math>\lg a^b = b \lg a</math>, erhalten wir <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> und die rechte Seite ist einfach <math>\lg 100 = 2</math>. Dies gibt die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}
+
\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}
-
Finally, dividing by <math>\lg 2</math> gives that
+
Mit Division durch <math>\lg 2</math> ergibt sich, dass
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
+
\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
-
\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
+
\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
-
\quad\text{that is}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
The general formula for changing from one base <math>a</math> to another base <math>b</math> can be derived in the same way
+
Die allgemeine Formel, um die Basis von <math>a</math> zu <math>b</math> in Logarithmen zu ändern, lautet
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\log_{\scriptstyle\,a} x
+
\log_{\scriptstyle\,a} x
-
= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
+
= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
-
\,\mbox{.}</math>}}
+
\,\mbox{.}</math>}}
-
If one wants to change the base of a power, one can do this by using logarithms. For instance, if we want to write <math> 2^5 </math> using the base 10 one first writes 2 as a power with the base 10;
+
Wenn wir zum Beispiel <math> 2^5 </math> zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10
-
{{Fristående formel||<math>2 = 10^{\lg 2}</math>}}
+
-
and then using one of the laws of exponents
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 10^{\lg 2}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>
+
 
-
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
+
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
-
\quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
 +
\quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Example 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Write <math> 10^x </math> using the base ''e''.
+
<li>Schreibe <math> 10^x </math> zur natürlichen Basis ''e''.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
First, we write 10 as a power of ''e'',
+
Zuerst schreiben wir 10 zur Basis ''e'',
-
{{Fristående formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}
-
and then use the laws of exponents
+
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
+
10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
-
\approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
\approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li> Write <math>e^{\,a}</math> using the base 10.
+
<li> Schreibe <math>e^{\,a}</math> zur Basis 10
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The number <math>e</math> can be written as <math>e=10^{\lg e}</math> and therefore
+
Die Zahl <math>e</math> kann wie <math>e=10^{\lg e}</math> geschrieben, und daher ist
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
e^a = (10^{\lg e})^a
+
e^a = (10^{\lg e})^a
-
= 10^{\,a \cdot \lg e}
+
= 10^{\,a \cdot \lg e}
-
\approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}</math>}}
+
\approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</ol>
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 +
<br><br>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[3.3 Exercises|Exercises]]
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.3 Übungen|Übungen]]''' .
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
 
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'''Study advice'''
 
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'''The basic and final tests'''
+
<div class="inforuta" style="width:580px;">
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+
'''Tipps fürs Lernen'''
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
+
 +
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
'''Keep in mind that: '''
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
You may need to spend much time studying logarithms.
+
'''Bedenke folgendes: '''
-
Logarithms usually are dealt with summarily in high school. Therefore, many college students tend to encounter problems when it comes to calculations with logarithms.
+
Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.
 +
Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
-
'''Reviews'''
 
-
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:
+
'''Literaturhinweise'''
 +
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm Learn more about logarithms in English Wikipedia ]
 
-
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Learn more about the number ''e'' in The MacTutor History of Mathematics archive ]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Mehr über Logarithmen in der Wikipedia ]
 +
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Mehr über die Zahl ''e'' im "The MacTutor History of Mathematics" Archiv (engl.) ]
-
'''Useful web sites'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogGraph/logGraph.html Experiment with logarithms and powers ]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogGraph/logGraph.html Experimente mit Logarithmen und Potenzen (engl.) ]
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogConcentration/LogConcentration.htm Play logarithm Memory ]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogConcentration/LogConcentration.htm Spiel logarithmus Memory (engl.)]
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/logger.htm Help the frog to jump onto his water-lily leaf in the "log" game]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/logger.htm Hilf dem Frosch auf seine Seerose im "log"-Spiel (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Logarithmen
  • Die Logarithmengesetze

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Mit Basen und Exponenten rechnen
  • Die Bedeutung der Ausdrücke \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log und \displaystyle \log_{a} kennen.
  • Einfache Logarithmen mit der Definition des Logarithmus berechnen.
  • Wissen, dass Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.
  • Die Bedeutung der Zahl \displaystyle e kennen.
  • Die Logarithmengesetze verwenden, um logarithmische Ausdrücke zu vereinfachen.
  • Wissen, wann die Logarithmengesetze gültig sind.
  • Basis von Logarithmen ändern

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Logarithmus zur Basis 10

Oft verwendet man Potenzen mit der Basis \displaystyle 10, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:

\displaystyle \begin{align*}

10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\ 10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.} \end{align*}

Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:

"der Exponent von 1000 3 ist", oder dass
"der Exponent von 0,01 -2 ist".

Genauso wird der Logarithmus definiert. Formaler geschrieben haben wir:

"Der Logarithmus von 1000 ist 3". Dies schreibt man \displaystyle \lg 1000 = 3,
"Der Logarithmus von 0.01 ist -2". Dies schreibt man \displaystyle \lg 0\textrm{.}01 = -2.

Allgemeiner gilt folgendes:

Der Logarithmus einer Zahl \displaystyle y wird \displaystyle \lg y genannt und ist der Exponent, der die Gleichung
\displaystyle 10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.}

erfüllt. \displaystyle y muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus \displaystyle \lg y definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.

Beispiel 1

  1. \displaystyle \lg 100000 = 5\quad denn \displaystyle 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000
  2. \displaystyle \lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0\textrm{.}0001
  3. \displaystyle \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}
  4. \displaystyle \lg 1 = 0\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1
  5. \displaystyle \lg 10^{78} = 78\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}
  6. \displaystyle \lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50
  7. \displaystyle \lg (-10) existiert nicht, da \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}} nie -10 werden kann, egal wie man \displaystyle a wählt

Im Beispiel oben kann man leicht sehen, dass \displaystyle \lg 50 zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem \displaystyle 10^1 < 50 < 10^2. Um einen genaueren Wert von \displaystyle \lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.

Beispiel 2

  1. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 100} = 100
  2. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg a} = a
  3. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50


B - Verschiedene Basen

Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man \displaystyle \log_{\,2} und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".

Beispiel 3

  1. \displaystyle \log_{\,2} 8 = 3\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8.
  2. \displaystyle \log_{\,2} 2 = 1\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2.
  3. \displaystyle \log_{\,2} 1024 = 10\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024.
  4. \displaystyle \log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.

Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz ähnlich.

Beispiel 4

  1. \displaystyle \log_{\,3} 9 = 2\quad denn \displaystyle 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9.
  2. \displaystyle \log_{\,5} 125 = 3\quad denn \displaystyle 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125.
  3. \displaystyle \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad denn \displaystyle 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.
  4. \displaystyle \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad denn \displaystyle b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}} (wenn \displaystyle b>0 und \displaystyle b\not=1).

Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten \displaystyle \log_{\,10}, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log.


C - Der natürliche Logarithmus

Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl \displaystyle e \displaystyle ({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,). Die Logarithmen zur Basis e werden natürliche Logarithmen genannt. Statt \displaystyle \log_{\,e} schreibt man \displaystyle \ln, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \ln 10 \approx 2{,}3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10.
  2. \displaystyle \ln e = 1\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e.
  3. \displaystyle \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{e^3}.
  4. \displaystyle \ln 1 = 0\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
  5. Wenn \displaystyle y= e^{\,a} dann ist \displaystyle a = \ln y.
  6. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5
  7. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x

Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.


D - Logarithmengesetze

In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).

Beispiel 6

Berechnen Sie \displaystyle \,35\cdot 54.

Wenn wir wissen, dass \displaystyle 35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} und \displaystyle 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324} (also \displaystyle \lg 35 \approx 1\textrm{.}5441 und \displaystyle \lg 54 \approx 1\textrm{.}7324), können wir das Produkt einfach berechnen:

\displaystyle

35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324} = 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324} = 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.

Wenn wir auch wissen, dass \displaystyle 10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890 (also \displaystyle \lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765) haben wir es geschafft, das Produkt

\displaystyle 35 \cdot 54 = 1890

nur mit Addition der Exponenten \displaystyle 1\textrm{.}5441 und \displaystyle 1\textrm{.}7324 zu berechnen.

Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich

\displaystyle \log (ab) = \log a + \log b

Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir

\displaystyle

a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}

aber anderseits haben wir auch

\displaystyle

a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}

Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:

\displaystyle \begin{align*}

\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt] \log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt] \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
  2. \displaystyle \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2
  3. \displaystyle 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25
  4. \displaystyle \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2

Beispiel 8

  1. \displaystyle \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3
  2. \displaystyle \ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e} = \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\frac{1}{\sqrt{e}}
    \displaystyle \phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(}
  3. \displaystyle \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81 = \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(}
  4. \displaystyle \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a} = 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
    \displaystyle \phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{} = (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0


E - Basis ändern

Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.

Beispiel 9

  1. Schreibe \displaystyle \lg 5 als einen natürlichen Logarithmus.

    Laut Definition ist \displaystyle \lg 5 die Zahl, die die Gleichung
    \displaystyle 10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}

    erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir

    \displaystyle \ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}

    Mit dem Logarithmengesetz \displaystyle \ln a^b = b \ln a schreiben wir die linke Seite wie \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 und bekommen die Gleichung

    \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}

    Division durch \displaystyle \ln 10 ergibt die Antwort

    \displaystyle

    \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10} \qquad (\approx 0\textrm{.}699\,, \quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}

  2. Schreibe den 2-Logarithmus von 100 als einen 10-Logarithmus, lg.

    Laut Definition des Logarithmus steht fest, dass \displaystyle \log_2 100 die Gleichung
    \displaystyle 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100

    erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten

    \displaystyle

    \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}

    Nachdem \displaystyle \lg a^b = b \lg a, erhalten wir \displaystyle \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 und die rechte Seite ist einfach \displaystyle \lg 100 = 2. Dies gibt die Gleichung

    \displaystyle

    \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}

    Mit Division durch \displaystyle \lg 2 ergibt sich, dass

    \displaystyle

    \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2} \qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,, \quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}

Die allgemeine Formel, um die Basis von \displaystyle a zu \displaystyle b in Logarithmen zu ändern, lautet

\displaystyle

\log_{\scriptstyle\,a} x = \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a} \,\mbox{.}

Wenn wir zum Beispiel \displaystyle 2^5 zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10

\displaystyle 2 = 10^{\lg 2}

und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

\displaystyle

2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2} \quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}

Beispiel 10

  1. Schreibe \displaystyle 10^x zur natürlichen Basis e.

    Zuerst schreiben wir 10 zur Basis e,
    \displaystyle 10 = e^{\ln 10}

    und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

    \displaystyle

    10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10} \approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}

  2. Schreibe \displaystyle e^{\,a} zur Basis 10

    Die Zahl \displaystyle e kann wie \displaystyle e=10^{\lg e} geschrieben, und daher ist
    \displaystyle

    e^a = (10^{\lg e})^a = 10^{\,a \cdot \lg e} \approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenke folgendes:

Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.


Literaturhinweise Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über Logarithmen in der Wikipedia

Mehr über die Zahl e im "The MacTutor History of Mathematics" Archiv (engl.)

Nützliche Websites

Experimente mit Logarithmen und Potenzen (engl.)

Spiel logarithmus Memory (engl.)

Hilf dem Frosch auf seine Seerose im "log"-Spiel (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.3_Logarithmen“