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Lösung 4.4:8c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K (Lösning 4.4:8c moved to Solution 4.4:8c: Robot: moved page)
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Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir
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<center> [[Image:4_4_8c-1(2).gif]] </center>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
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Wir können die Gleichung in nur <math>\tan x</math>-Terme schreiben:
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{{Abgesetzte Formel||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
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Benennen wir <math>t=\tan x</math>, erhalten wir eine quadratische Gleichung für ''t'', die vereinfacht <math>t^2+t=0</math> ist. Diese Gleichung hat die Lösungen <math>t=0</math> und <math>t=-1</math>. Daher muss ''x'' entweder die Gleichung <math>\tan x=0</math> oder die Gleichung <math>\tan x=-1\,</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen <math>x=n\pi</math> und die zweite die Lösungen <math>x=3\pi/4+n\pi\,</math>.
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Also erhalten wir zusammen die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt]
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x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,.
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\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir

1cos2x=cos2xcos2x+sin2x=1+sin2xcos2x=1+tan2x

Wir können die Gleichung in nur tanx-Terme schreiben:

1+tan2x=1−tanx.

Benennen wir t=tanx, erhalten wir eine quadratische Gleichung für t, die vereinfacht t2+t=0 ist. Diese Gleichung hat die Lösungen t=0 und t=−1. Daher muss x entweder die Gleichung tanx=0 oder die Gleichung tanx=−1 erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen x=n und die zweite die Lösungen x=34+n.

Also erhalten wir zusammen die Lösungen

xx=n und=43+n
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