Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse ''c''.
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-	[[Image:4_2_9_1.gif|center]]	+	Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen
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		+	Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.
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		+	<center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to P}}</center>
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		+	Nachdem <math>\text{AP}=4</math>, erhalten wir einfach ''x'' und ''y'':
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt]
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		+
		+	Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'', indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.
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		+	{| align="center"
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		+	| width="20px"|&nbsp;
		+	| align="center" valign="center"|{{:4.2.9 - Solution - A figure with horizontal distances a, x and 5, and vertical distances 12, b and y}}
		+	|}
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		+	Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt]
		+	&= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt]
		+	&= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt]
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		+	&\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse c.

Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}

Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.

Nachdem \displaystyle \text{AP}=4, erhalten wir einfach x und y:

\displaystyle \begin{align} x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Mit x und y erhalten wir die Katheten a und b, indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.

\displaystyle \begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}

Mit a und b erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras

\displaystyle \begin{align} c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] &= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt] &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} \end{align}