Lösung 3.2:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Lösning 3.2:5 moved to Solution 3.2:5: Robot: moved page)
Aktuelle Version (12:33, 23. Jul. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 6 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung
-
<center> [[Image:3_2_5-1(2).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3x-2 = (2-x)^2\,.</math>|(*)}}
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
 
-
<center> [[Image:3_2_5-2(2).gif]] </center>
+
Wir erweitern die rechte Seite und erhalten
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}</math>}}
 +
 
 +
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^{2}-7x+6
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4}
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
Also kann die Gleichung wie
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}</math>}}
 +
 
 +
geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln
 +
 
 +
:*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,</math>
 +
 
 +
:*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}</math>
 +
 
 +
Ersetzen wir <math>x=1</math> und <math>x=6</math> in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.
 +
 
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1</math>
 +
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16</math>
 +
 
 +
Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.
 +
 
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1</math>
 +
 +
:*''x''&nbsp;=&nbsp;6: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4</math>
 +
 
 +
Also hat die Gleichung die Lösung <math>x=1\,</math>.

Aktuelle Version

Nachdem wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle 3x-2 = (2-x)^2\,. (*)

Wir erweitern die rechte Seite und erhalten

\displaystyle x^{2}-7x+6=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

x^{2}-7x+6 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2+6\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{25}{4} \end{align}

Also kann die Gleichung wie

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 = \frac{25}{4}

geschrieben werden und hat deshalb die Wurzeln

  • \displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6\,,
  • \displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,\textrm{.}

Ersetzen wir \displaystyle x=1 und \displaystyle x=6 in der quadratischen Gleichung (*), sehen wir dass die Wurzeln richtig sind.

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 1-2 = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-1)^2 = 1
  • x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 3\cdot 6-2 = 16\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (2-6)^2 = 16

Schließlich kontrollieren wir die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung, um Scheinlösungen zu entdecken.

  • x = 1: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 1-2} = 1\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-1 = 1
  • x = 6: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{3\cdot 6-2} = 4\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 2-6 = -4

Also hat die Gleichung die Lösung \displaystyle x=1\,.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:5“