Lösung 2.2:2d

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Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
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Jetzt erweitern wir die Quadrate, indem wir jeden Term jeweils mit den anderen Termen multiplizieren.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(x^{2}+4x+1)^{2} &= (x^{2}+4x+1)(x^{2}+4x+1)\\[5pt]
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&= x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot 4x+x^{2}\cdot 1+4x\cdot x^{2}+4x\cdot 4x+4x\cdot 1\\[5pt]
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&\qquad\quad{}+1\cdot x^{2}+1\cdot 4x+1\cdot 1\\[5pt]
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&= x^{4}+4x^{3}+x^{2}+4x^{3}+16x^{2}+4x+x^{2}+4x+1\\[5pt]
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&= x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1\,,\\[10pt]
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(2x^{2}+2x+3)^{2} &= (2x^{2}+2x+3)(2x^{2}+2x+3)\\[5pt]
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&= 2x^{2}\cdot 2x^{2}+2x^{2}\cdot 2x+2x^{2}\cdot 3+2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 2x\\[5pt]
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&\qquad\quad{}+2x\cdot 3+3\cdot 2x^{2}+3\cdot 2x+3\cdot 3\\[5pt]
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&= 4x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x^{3}+4x^{2}+6x+6x^{2}+6x+9 \\[5pt]
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&= 4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Jetzt addieren wir alle Terme mit denselben Exponenten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}\\[5pt]
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&\qquad{}= (x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1)+3x^{4}-2x^{2}\\[5pt]
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&\qquad\qquad{}-(4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9)\\[5pt]
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&\qquad{}= (x^{4}+3x^{4}-4x^{4})+(8x^{3}-8x^{3})+(18x^{2}-2x^{2}-16x^{2})\\[5pt]
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&\qquad\qquad{}+(8x-12x)+(1-9)\\[5pt]
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&\qquad{}= -4x-8\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Vereinfacht erhalten wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>-4x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad x=-2\,\textrm{.}</math>}}
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Zuletzt kontrolieren wir, dass <math>x=-2</math> die Gleichung löst
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Linke Seite} &= \bigl((-2)^{2}+4\cdot(-2)+1\bigr)^{2}+3\cdot (-2)^{4}-2\cdot (-2)^{2}\\[5pt]
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&= (4-8+1)^{2} + 3\cdot 16 - 2\cdot 4 = (-3)^{2} + 48 - 8 = 9 + 48 - 8 = 49\,,\\[10pt]
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\text{Rechte Seite} &= \bigl(2\cdot(-2)^{2}+2\cdot (-2)+3\bigr)^{2} = (2\cdot 4-4+3)^{2} = 7^{2} = 49\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle (x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}=0\,\textrm{.}

Jetzt erweitern wir die Quadrate, indem wir jeden Term jeweils mit den anderen Termen multiplizieren.

\displaystyle \begin{align}

(x^{2}+4x+1)^{2} &= (x^{2}+4x+1)(x^{2}+4x+1)\\[5pt] &= x^{2}\cdot x^{2}+x^{2}\cdot 4x+x^{2}\cdot 1+4x\cdot x^{2}+4x\cdot 4x+4x\cdot 1\\[5pt] &\qquad\quad{}+1\cdot x^{2}+1\cdot 4x+1\cdot 1\\[5pt] &= x^{4}+4x^{3}+x^{2}+4x^{3}+16x^{2}+4x+x^{2}+4x+1\\[5pt] &= x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1\,,\\[10pt] (2x^{2}+2x+3)^{2} &= (2x^{2}+2x+3)(2x^{2}+2x+3)\\[5pt] &= 2x^{2}\cdot 2x^{2}+2x^{2}\cdot 2x+2x^{2}\cdot 3+2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 2x\\[5pt] &\qquad\quad{}+2x\cdot 3+3\cdot 2x^{2}+3\cdot 2x+3\cdot 3\\[5pt] &= 4x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x^{3}+4x^{2}+6x+6x^{2}+6x+9 \\[5pt] &= 4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9\,\textrm{.} \end{align}

Jetzt addieren wir alle Terme mit denselben Exponenten

\displaystyle \begin{align}

&(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}\\[5pt] &\qquad{}= (x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+1)+3x^{4}-2x^{2}\\[5pt] &\qquad\qquad{}-(4x^{4}+8x^{3}+16x^{2}+12x+9)\\[5pt] &\qquad{}= (x^{4}+3x^{4}-4x^{4})+(8x^{3}-8x^{3})+(18x^{2}-2x^{2}-16x^{2})\\[5pt] &\qquad\qquad{}+(8x-12x)+(1-9)\\[5pt] &\qquad{}= -4x-8\,\textrm{.} \end{align}

Vereinfacht erhalten wir die Gleichung

\displaystyle -4x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad x=-2\,\textrm{.}

Zuletzt kontrolieren wir, dass \displaystyle x=-2 die Gleichung löst

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \bigl((-2)^{2}+4\cdot(-2)+1\bigr)^{2}+3\cdot (-2)^{4}-2\cdot (-2)^{2}\\[5pt] &= (4-8+1)^{2} + 3\cdot 16 - 2\cdot 4 = (-3)^{2} + 48 - 8 = 9 + 48 - 8 = 49\,,\\[10pt] \text{Rechte Seite} &= \bigl(2\cdot(-2)^{2}+2\cdot (-2)+3\bigr)^{2} = (2\cdot 4-4+3)^{2} = 7^{2} = 49\,\textrm{.} \end{align}

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