Lösung 1.3:4e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| + | \bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= \bigl(5^{8}+5^{8}\cdot 5\bigr)^{-1} = \bigl(5^{8}\cdot (1+5)\bigr)^{-1}\\[5pt] | ||
| + | &= \bigl(5^{8}\cdot 6\bigr)^{-1} = 5^{8\cdot (-1)}\cdot 6^{-1} = 5^{-8}\cdot 6^{-1}. | ||
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| + | Weiterhin ist <math>625 = 5\cdot 125 = 5\cdot 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{4}</math>, und wir erhalten | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel|| | ||
| + | <math>\begin{align} | ||
| + | 625\cdot \bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= 5^{4}\cdot 5^{-8}\cdot 6^{-1} = 5^{4-8}\cdot 6^{-1}\\[5pt] | ||
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| + | &= \frac{1}{5^{4}\cdot 6} = \frac{1}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 6}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{1}{3750}\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Nachdem \displaystyle 5^{9} = 5^{8+1} = 5^{8}\cdot 5^{1} = 5^{8}\cdot 5, haben die beiden Summanden in den Klammern den gemeinsamen Faktor \displaystyle 5^{8}. Wir zerlegen daher den Ausdruck in diesen Faktor
| \displaystyle \begin{align}
\bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= \bigl(5^{8}+5^{8}\cdot 5\bigr)^{-1} = \bigl(5^{8}\cdot (1+5)\bigr)^{-1}\\[5pt] &= \bigl(5^{8}\cdot 6\bigr)^{-1} = 5^{8\cdot (-1)}\cdot 6^{-1} = 5^{-8}\cdot 6^{-1}. \end{align} |
Weiterhin ist \displaystyle 625 = 5\cdot 125 = 5\cdot 5\cdot 25 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{4}, und wir erhalten
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\displaystyle \begin{align} 625\cdot \bigl(5^{8}+5^{9}\bigr)^{-1} &= 5^{4}\cdot 5^{-8}\cdot 6^{-1} = 5^{4-8}\cdot 6^{-1}\\[5pt] &= 5^{-4}\cdot 6^{-1} = \frac{1}{5^{4}}\cdot \frac{1}{6}\\[5pt] &= \frac{1}{5^{4}\cdot 6} = \frac{1}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 6}\\[5pt] &= \frac{1}{3750}\,\textrm{.} \end{align} |
