1.1 Verschiedene Zahlen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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(Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' * Naturliga tal * Negativa tal * Prioriteringsregler och parenteser * Rationella tal * Något om irrationella tal * Reella tal }} {{Info| '''Lära...)
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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
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{{Gewählter Tab|[[1.1 Verschiedene Zahlen|Theorie]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[1.1 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt:'''
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* Naturliga tal
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* Natürliche Zahlen
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* Negativa tal
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* Negative Zahlen
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* Prioriteringsregler och parenteser
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* Operatorrangfolge und Klammern
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* Rationella tal
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* Rationale Zahlen
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* Något om irrationella tal
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* Irrationale Zahlen (Übersicht)
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* Reella tal
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* Reelle Zahlen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Lärandemål:'''
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'''Lernziele'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
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Nach diesem Abschnitt sollst Du ...
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* Beräkna uttryck som innehåller heltal, de fyra räknesätten och parenteser.
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* ... die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
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* Veta skillnaden mellan naturliga tal, heltal, rationella tal och irrationella tal.
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* ... den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
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* Omvandla bråktal till decimalform och omvänt.
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* ... Brüche als Dezimalzahlen und Dezimalzahlen als Brüche schreiben können.
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* Avgöra vilket av två bråktal som är störst, dels med decimalbråksutveckling, dels genom förlängning av bråken.
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* ... den Wert zweier Zahlen vergleichen können.
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* Ange ett närmevärde till decimaltal och bråktal med ett givet antal decimaler.
+
* ... Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden können.
}}
}}
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== Räkneoperationer med tal ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A. Rechnungen mit Zahlen ==
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Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:
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Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text:
 
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<center>{{:Sommarmatte 1 - 1.1 räkneoperationer}}</center>
+
<center>{{:1.1 - Bild - Grundrechnungsarten der Arithmetik}}</center>
-
När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas
+
Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal
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{{Fristående formel||<math>3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}</math>}}
-
När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig
+
Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.
-
{{Fristående formel||<math>5-2=3 \quad \mbox{medan} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}</math>}}
+
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Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}</math>}}
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Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer eine nicht negative Zahl. Um den Abstand zu berechnen, muss man also die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Der Abstand zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Den Abstand schreibt man als Betrag der Differenz, also
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{{Abgesetzte Formel||<math>| 5-2| = |2-5|=3\,\mbox{.}</math>}}
-
När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig
 
-
{{Fristående formel||<math>3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}</math>}}
 
-
Vid division är ordningen av betydelse
+
Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal
-
{{Fristående formel||<math>\frac{6}{3} = 2\quad\mbox{medan}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}</math>}}
 +
Bei der Division hingegen wieder nicht.
-
== Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler) ==
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}</math>}}
-
När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:
+
Dass bei der Addition, Multiplikation und dem Abstand die Reihenfolge egal ist, bedeutet, dass für diese Operationen das Kommutativgesetz gilt.
-
* Parenteser (parentesen "längst in" först)
+
<div class="regel">
-
* Multiplikation och division (från vänster till höger)
+
'''Kommutativgesetz'''
-
* Addition och subtraktion (från vänster till höger)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>a+b = b+a </math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math> a \cdot b = b \cdot a </math>}}
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> | a -b | = | b -a | </math>}}
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Für <math> a,b \in \Bbb{R}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
Für die Addition und die Multiplikation gilt auch das Assoziativgesetz:
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<div class="regel">
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'''Assoziativgesetz'''
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{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)+c = a + (b +c) </math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math> (a \cdot b) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c) </math>}}
 +
für <math> a,b \in \Bbb{R}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
== B - Operatorrangfolge ==
 +
 
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Wenn ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:
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1. Klammern (die innersten Klammern zuerst) <br>
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2. Multiplikation und Division <br>
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3. Addition und Subtraktion <br>
 +
 
 +
Man sagt auch "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", wobei Multiplikation und Division als Punktrechnung gelten und Addition und Subtraktion als Strichrechnung.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
'''Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 83: Zeile 117:
</div>
</div>
-
=== "Osynliga" parenteser ===
+
=== C -"Unsichtbare" Klammern ===
-
Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare.
+
 
 +
Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare Klammern" gibt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
'''Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 97: Zeile 132:
</div>
</div>
-
Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare.
+
Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.
-
Divisionen
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{8+4}{2+4}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{8+4}{2+4}</math>}}
+
muss als <math>(8 + 4 )/(2 + 4)</math> geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort <math>2</math> gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen <math>8 + 4/2 + 4</math> schreibt. Dies interpretiert der Rechner als <math>8 + (4/2) + 4 = 14 </math> (nach Punkt-vor-Strich-Regel) oder als <math>(8 + 4)/2 + 4 = 10</math>. (Wenn er die Punkt-vor-Strich-Regel nicht berücksichtigt)
-
måste skrivas <math>(8 + 4 )/(2 + 4)</math> på miniräknaren för att det korrekta svaret <math>2</math> ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva <math>8 + 4/2 + 4</math>, vilket av miniräknaren tolkas som <math>8 + 2 + 4 = 14</math>.
+
== D - Verschiedene Zahlen ==
 +
Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:
-
== Olika typer av tal ==
 
-
De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:
+
<center>{{:1.1 - Bild - Zahlengerade}}</center>
-
<center>{{:Sommarmatte 1 - 1.1 tallinje}}</center>
+
Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man <math>\Bbb{R}</math>. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < <math> \sqrt{2} </math> oder <math> - \frac{4}{3} < e </math>.
-
De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal och betecknas med '''R'''. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid större än ett tal till vänster. Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal:
+
In den reellen Zahlen gibt es folgende Mengen von Zahlen:
-
''Naturliga tal'' (symboliseras vanligen med bokstaven '''N''')
+
''Natürliche Zahlen'' (normalerweise mit <math>\Bbb{N}</math> bezeichnet)
-
De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...
+
Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ...
 +
Wir schreiben auch <math>\Bbb{N} = \{ 0,1,2, ... \} </math> und benutzen <math> a \in \Bbb{N}</math> , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist.
 +
Dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, schreiben wir als <math>\Bbb{N} \subset \Bbb{R}</math>.
-
''Heltal'' ('''Z''')
+
''Ganze Zahlen'' (<math>\Bbb{Z}</math>)
-
De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
+
Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
 +
Wir schreiben auch <math>\Bbb{Z} = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} </math> und benutzen <math> n \in \Bbb{Z}</math>, um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist.
 +
Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: <math> \Bbb{N} \subset \Bbb{Z} \subset \Bbb{R}</math>.
-
''Rationella tal'' ('''Q''')
+
''Rationale Zahlen'' (<math>\Bbb{Q}</math>)
-
Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex.
+
Die rationalen Zahlen sind die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und deren Nenner nicht 0 ist. Die folgenden Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen
-
{{Fristående formel||<math>-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{osv.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128} \in \Bbb{Q}</math>}}
-
Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom
+
Wir schreiben auch <math>\Bbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 \} </math>.
-
{{Fristående formel||<math>-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{osv.}</math>}}
+
 
 +
Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}</math>}}
 +
Wir schreiben dafür auch <math> \Bbb{Z} \subset \Bbb{Q} \subset \Bbb{R}</math>.
 +
 
 +
Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}</math>}}
 +
 
 +
Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.
-
Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex.
 
-
{{Fristående formel||<math>2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{osv.}</math>}}
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
'''Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Att multiplicera täljare och
+
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
-
nämnare hos ett rationellt tal med samma faktor kallas förlängning
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}
-
och förändrar inte talets värde
+
= \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}
+
= \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}</math>}}
-
= \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}
+
-
= \frac{5}{15}\quad\mbox{osv.}</math>}}
+
</li>
</li>
-
<li>Att dividera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med
+
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
-
samma tal kallas förkortning och förändrar inte heller talets värde
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}
+
= \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7}
-
= \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7}
+
\quad\mbox{etc.}</math>}}
-
\quad\mbox{osv.}</math>}}
+
</li>
</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
''Irrationella tal''
+
''Irrationale Zahlen''
-
De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är de flesta rötter, som <math>\sqrt{2}</math> och <math>\sqrt{3}</math> men även talet <math>\pi</math> t.ex.
 
-
=== Decimalform ===
+
Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:
-
Alla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv.
 
-
<center>{{:Sommarmatte 1 - 1.1 decimalform}}</center>
+
<math>\sqrt{2}</math> und <math>\sqrt{3}</math>, aber auch andere Zahlen, wie <math>\pi</math>.
 +
 
 +
=== E - Dezimaldarstellung ===
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.
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 +
<center>{{:1.1 - Bild - Dezimalform}}</center>
 +
 
 +
Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit <math>1, 10, 100, ...</math> multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit <math> \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ...</math> multipliziert werden.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
'''Beispiel 4'''
-
{{Fristående formel||<math>1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}</math>}}
</div>
</div>
-
Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75.
+
Die Brüche <math> \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} </math> und <math> \frac{12 345 678}{10000} </math> heißen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist und zehn auf lateinisch decem heißt.
-
Läs om [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen liggande stolen] på wikipedia.
+
Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> gleich "3 durch 4", oder 0,75). Manche rationale Zahlen können auch auf einen Dezimalbruch erweitert werden (z.B. ist <math> \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 </math>).
 +
 
 +
Mehr über [http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division Schriftliche Division] auf Wikipedia.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
'''Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\overline{0}</math></li>
-
<li><math>\frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\overline{3}</math></li>
-
<li><math> \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}</math></li>
+
<li><math> \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\overline{6}</math></li>
-
<li><math>\frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\overline{142857}</math></li>
</ol>
</ol>
-
(understrykningen markerar decimaler som upprepas)
+
(Die Zahlen, über denen sich ein Strich befindet, wiederholen sich unendlich oft.)
</div>
</div>
-
Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
 
-
Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal.
+
Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos oft wiederholt. (Gegebenenfalls wiederholt sich die 0 unendlich oft. Siehe Bsp. 5 a.) Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
 +
 
 +
Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.
 +
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
'''Beispiel 6'''
-
Talen <math>\pi</math> och <math>\sqrt{2}</math> är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
+
Die Zahlen <math>\pi</math> und <math>\sqrt{2}</math> sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots</math></li>
<li><math>\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots</math></li>
Zeile 205: Zeile 259:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
'''Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 215: Zeile 269:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
'''Beispiel 8'''
-
Talet <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt
+
Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, weil sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch in der Form <math> x= \frac{m}{n} </math> mit <math> m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0</math> zu schreiben, machen wir folgendes:
-
Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger
+
Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.
-
{{Fristående formel||<math>\quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots</math>}}
-
och multiplicerar vi talet med <math>10\cdot 10\cdot 10 = 1000</math> flyttas decimalkommat tre steg åt höger
+
Genauso verschiebt sich das Komma <math>3</math> Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit <math>10\cdot 10\cdot 10 = 1000</math> multiplizieren.
-
{{Fristående formel||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}
 +
Die Zahlen <math>1000\,x</math> und <math>10\,x</math> haben nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,
-
Nu ser vi att <math>1000\,x</math> och <math>10\,x</math> har samma decimalutveckling så differensen mellan talen
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}
+
muss eine ganze Zahl sein, weil die Dezimalen nach dem Komma einander aufheben.
-
blir ett heltal
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}
+
also ist
-
Alltså är
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}</math>}}
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>\quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}</math>}}
+
</div>
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=== Avrundning ===
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=== F - Rundung ===
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Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern <math>0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4</math> werden abgerundet, während die Ziffern <math>5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9</math> aufgerundet werden.
-
Eftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.
 
-
Vi använder symbolen <math>\approx</math> (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett.
+
Das Symbol <math>\approx</math> (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
'''Beispiel 9'''
-
Avrundning till 3 decimalers noggrannhet:
+
Rundung auf 3 Dezimalstellen genau:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>1{,}0004 \approx 1,000</math></li>
<li><math>1{,}0004 \approx 1,000</math></li>
Zeile 260: Zeile 316:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
'''Beispiel 10'''
-
Avrundning till 4 decimalers noggrannhet:
+
Rundung auf 4 Dezimalstellen nach genau:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\pi \approx 3{,}1416 </math></li>
<li><math>\pi \approx 3{,}1416 </math></li>
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</div>
</div>
 +
== G - Zahlen vergleichen ==
-
== Jämförelse av tal ==
 
-
Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna &gt; (är större än), &lt; (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare.
+
 
 +
Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen &gt; (größer als), &lt; (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit dem selben Nenner schreibt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 11'''
+
'''Beispiel 11'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Vilket är störst av talen <math>\frac{1}{3}</math> och <math>0,33</math>?<br/><br/>
+
<li>Welche der beiden Zahlen <math>x=\frac{1}{3}</math> und <math>y=0{,}33</math> ist die größere?<br/><br/>
-
Vi har att
+
Folgendes gilt:
-
{{Fristående formel||<math>x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{och}\quad y = 0,33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}</math>}}
+
<math>x =\frac{1}{3} \text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} </math> haben den gemeinsamen Nenner <math> 3 \cdot 100 = 300 </math>, sodass
-
Alltså är <math>x>y</math> eftersom <math>100/300 > 99/300</math>.<br/><br/>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}</math>}}
-
Alternativt så kan man se att <math>1/3>0{,}33</math> eftersom <math>1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33</math>.</li>
+
Weil <math> 100 > 99 </math> gilt für die Brüche mit dem selben Nenner 300, dass <math>\frac{100}{300} > \frac{99}{300}</math> und darum ist <math>x>y</math>.
 +
<br/><br/>
 +
Oder man schreibt beide Zahlen als Dezimalzahlen und sieht, dass <math>\frac{1}{3}>0{,}33</math> weil <math>\frac{1}{3} = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33</math>.</li>
-
<li>Vilket tal är störst av <math>\frac{2}{5}</math> och <math>\frac{3}{7}</math>?<br/><br/>
+
<li>Welche Zahl ist größer: <math>\frac{2}{5}</math> oder <math>\frac{3}{7}</math>?<br/><br/>
-
Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. 35:
+
Wir schreiben die Zahlen mit dem gemeinsamen Nenner <math>5 \cdot 7 = 35</math>
-
{{Fristående formel||<math>\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{och}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}</math>}}
-
Alltså är <math>\frac{3}{7}>\frac{2}{5}</math> eftersom <math>\frac{15}{35} > \frac{14}{35}</math>.</li>
+
Also ist <math>\frac{3}{7}>\frac{2}{5}</math> , weil <math>\frac{15}{35} > \frac{14}{35}</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
[[1.1 Övningar|Övningar]]
+
<div class="exempel">
 +
'''Beispiel 12'''
 +
<ol type="a">
 +
<li> Gegeben sind die reellen Zahlen <math>x,y,z</math> also <math> x,y,z \in \Bbb{R}</math>, für die gilt <math>x < y</math>. <br>
 +
Frage: Welche der beiden Zahlen ist grösser <math>x+z</math> oder <math>y+z</math>?<br/><br/>
 +
Antwort: <br>
 +
Wegen <math>x < y </math> liegt <math>x </math> links von <math>y</math> auf der Zahlengeraden.<br>
 +
Die Addition von <math>z</math> verschiebt die Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> auf der Zahlengeraden auf die gleiche Weise: Für <math>z > 0 </math> werden <math>x </math> und <math>y</math> um <math>|z|</math> nach rechts verschoben, für <math>z < 0</math> werden <math>x</math> und <math>y</math> um <math>|z|</math> nach links verschoben. Da beide Zahlen gleich weit verschoben werden, ändert sich nicht, dass <math>x</math> links von <math>y</math> liegt und <math>x+z</math> liegt weiterhin links von <math>y+z</math>.<br>
 +
Also ist <math>y+z</math> die größere Zahl.
 +
<br><br>
 +
<li> Es sind <math> x,y \in \Bbb{R}</math> und <math>x < y</math>. Frage: welche der beiden Zahlen <math>-x , -y </math> ist größter als die andere?<br/><br/>
 +
Antwort: <br>
 +
Wegen <math>x < y</math> liegt <math>x</math> links von <math>y</math> auf der Zahlengeraden.<br>
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<math>-x</math> ist die Gegenzahl von <math>x</math>: Wenn <math>x > 0</math> ist, also rechts von 0 liegt, so liegt <math>-x</math> links von der Null und <math>-x < 0</math>. Wenn aber <math>x < 0</math> ist, also links von 0 liegt, dann liegt <math>-x</math> rechts von der Null und <math>-x > 0</math>. Ebenso ist <math>-y</math> die Gegenzahl von <math>y</math>.<br>
 +
Wenn wir statt <math>x</math> und <math>y</math> die Gegenzahlen <math>-x</math> und <math>-y</math> betrachten, ist es dasselbe als wenn wir <math>x</math> und <math>y</math> an <math>0</math> spiegeln: Wenn <math>x</math> links von <math>y</math> liegt, dann liegt <math>-x</math> rechts von <math>-y</math> und <math>-y < -x</math>.<br>
 +
Also ist <math>-x</math> die größere der beiden Zahlen.<br><br>
 +
Dies ist eine bekannte Rechenregel: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (z.B. -1) verändert die Ungleichung ihre Richtung: <math> x < y </math> gilt dann und nur dann, wenn <math> -y < -x</math> gilt.<br>
 +
</ol>
 +
</div>
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<div class="inforuta">
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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'''Råd för inläsning'''
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'''Grund- och slutprov'''
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[1.1 Übungen|Übungen]]''' .
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
 
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Att tänka på'''
 
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Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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fel.
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge"
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'''Vorsicht'''
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Sei so genau und exakt, wie es geht, beim Rechnen und beim Eingeben deiner Ergebnisse. So vermeidest du auch Fehler auf Grund von Tippfehlern.
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'''Literaturhinweise'''
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'''Lästips'''
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Grundrechenart Mehr über die Grundrechenarten in der Wikipedia ]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia]
+
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Wer hat die Null entdeckt ? Eine Antwort findest Du im "The MacTutor History of Mathematics archive" (engl.)]
-
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Vem upptäckte Nollan? Läs mer i "The MacTutor History of Mathematics archive"]
+
[http://www.mathsisfun.com/long_division.html Schriftliche Division (engl.)]
-
[http://www.fritext.se/matte/grunder/posi3.html Liggande stolen - en beskrivning]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch Wisst Ihr, dass 0,999... = 1 gilt?]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... Visste du att 0,999... = 1?]
 
-
'''Länktips'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några "turnummer"? Vilket är det vackraste talet? Lyssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan.
+
Wieviele Farben werden gebraucht um eine Karte einzufärben? Wie oft sollten Karten gemischt werden? Welche Primzahl ist die Größte? Gibt es "Glückszahlen"? Höre dem berühmten Autor und Mathematiker Simon Singh zu, wenn er von Primzahlen, den magischen Zahlen 4 und 7 und dem Konzept der Null erzählt.
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Lyssna på BBC-programmen "5 Numbers"]
+
[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Hör Dir die BBC Sendung "5 Numbers" an (engl.)]
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Lyssna på BBC-programmen "Another 5 numbers"]
+
[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Hör Dir die BBC Sendung "Another 5 numbers" an (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Natürliche Zahlen
  • Negative Zahlen
  • Operatorrangfolge und Klammern
  • Rationale Zahlen
  • Irrationale Zahlen (Übersicht)
  • Reelle Zahlen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollst Du ...

  • ... die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
  • ... den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
  • ... Brüche als Dezimalzahlen und Dezimalzahlen als Brüche schreiben können.
  • ... den Wert zweier Zahlen vergleichen können.
  • ... Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden können.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


A. Rechnungen mit Zahlen

Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:


[Image]


Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer eine nicht negative Zahl. Um den Abstand zu berechnen, muss man also die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Der Abstand zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Den Abstand schreibt man als Betrag der Differenz, also

\displaystyle | 5-2| = |2-5|=3\,\mbox{.}


Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Bei der Division hingegen wieder nicht.

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}

Dass bei der Addition, Multiplikation und dem Abstand die Reihenfolge egal ist, bedeutet, dass für diese Operationen das Kommutativgesetz gilt.

Kommutativgesetz

\displaystyle a+b = b+a
\displaystyle a \cdot b = b \cdot a
\displaystyle | a -b | = | b -a |

Für \displaystyle a,b \in \Bbb{R}

Für die Addition und die Multiplikation gilt auch das Assoziativgesetz:

Assoziativgesetz

\displaystyle (a+b)+c = a + (b +c)
\displaystyle (a \cdot b) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c)

für \displaystyle a,b \in \Bbb{R}

B - Operatorrangfolge

Wenn ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

1. Klammern (die innersten Klammern zuerst)
2. Multiplikation und Division
3. Addition und Subtraktion

Man sagt auch "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", wobei Multiplikation und Division als Punktrechnung gelten und Addition und Subtraktion als Strichrechnung.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2
  2. \displaystyle 3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12
  3. \displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))} \displaystyle \qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26

C -"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare Klammern" gibt.

Beispiel 2

  1. \displaystyle \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6
  2. \displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2
  3. \displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2

Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort \displaystyle 2 gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + (4/2) + 4 = 14 (nach Punkt-vor-Strich-Regel) oder als \displaystyle (8 + 4)/2 + 4 = 10. (Wenn er die Punkt-vor-Strich-Regel nicht berücksichtigt)

D - Verschiedene Zahlen

Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:


[Image]


Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man \displaystyle \Bbb{R}. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < \displaystyle \sqrt{2} oder \displaystyle - \frac{4}{3} < e .


In den reellen Zahlen gibt es folgende Mengen von Zahlen:


Natürliche Zahlen (normalerweise mit \displaystyle \Bbb{N} bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{N} = \{ 0,1,2, ... \} und benutzen \displaystyle a \in \Bbb{N} , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist. Dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, schreiben wir als \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{R}.


Ganze Zahlen (\displaystyle \Bbb{Z})

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Z} = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} und benutzen \displaystyle n \in \Bbb{Z}, um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist. Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{Z} \subset \Bbb{R}.


Rationale Zahlen (\displaystyle \Bbb{Q})

Die rationalen Zahlen sind die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und deren Nenner nicht 0 ist. Die folgenden Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128} \in \Bbb{Q}

Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 \} .

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}

Wir schreiben dafür auch \displaystyle \Bbb{Z} \subset \Bbb{Q} \subset \Bbb{R}.

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}

Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.


Beispiel 3

  1. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}

    = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}

  2. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}

    = \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{etc.}

Irrationale Zahlen


Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:


\displaystyle \sqrt{2} und \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, wie \displaystyle \pi.

E - Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.

[Image]

Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ... multipliziert werden.

Beispiel 4

\displaystyle 1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}

Die Brüche \displaystyle \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} und \displaystyle \frac{12 345 678}{10000} heißen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist und zehn auf lateinisch decem heißt.

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75). Manche rationale Zahlen können auch auf einen Dezimalbruch erweitert werden (z.B. ist \displaystyle \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 ).

Mehr über Schriftliche Division auf Wikipedia.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\overline{0}
  2. \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\overline{3}
  3. \displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\overline{6}
  4. \displaystyle \frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\overline{142857}

(Die Zahlen, über denen sich ein Strich befindet, wiederholen sich unendlich oft.)


Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos oft wiederholt. (Gegebenenfalls wiederholt sich die 0 unendlich oft. Siehe Bsp. 5 a.) Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.


Beispiel 6

Die Zahlen \displaystyle \pi und \displaystyle \sqrt{2} sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

  1. \displaystyle \pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots
  2. \displaystyle \sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots

Beispiel 7

  1. \displaystyle 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
  2. \displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}
  3. \displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400}

Beispiel 8

Die Zahl \displaystyle x=0{,}215151515\,\ldots ist rational, weil sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch in der Form \displaystyle x= \frac{m}{n} mit \displaystyle m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 zu schreiben, machen wir folgendes:

Wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10 multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.

\displaystyle \quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots

Genauso verschiebt sich das Komma \displaystyle 3 Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10\cdot 10\cdot 10 = 1000 multiplizieren.

\displaystyle \quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots

Die Zahlen \displaystyle 1000\,x und \displaystyle 10\,x haben nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,

\displaystyle \quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots

muss eine ganze Zahl sein, weil die Dezimalen nach dem Komma einander aufheben.

\displaystyle \quad 990x = 213\mathrm{.}

also ist

\displaystyle \quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}

F - Rundung

Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.


Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.

Beispiel 9

Rundung auf 3 Dezimalstellen genau:

  1. \displaystyle 1{,}0004 \approx 1,000
  2. \displaystyle 0{,}9999 \approx 1{,}000
  3. \displaystyle 2{,}9994999 \approx 2{,}999
  4. \displaystyle 2{,}99950 \approx 3{,}000

Beispiel 10

Rundung auf 4 Dezimalstellen nach genau:

  1. \displaystyle \pi \approx 3{,}1416
  2. \displaystyle \frac{2}{3} \approx 0{,}6667

G - Zahlen vergleichen

Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit dem selben Nenner schreibt.

Beispiel 11

  1. Welche der beiden Zahlen \displaystyle x=\frac{1}{3} und \displaystyle y=0{,}33 ist die größere?

    Folgendes gilt: \displaystyle x =\frac{1}{3} \text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} haben den gemeinsamen Nenner \displaystyle 3 \cdot 100 = 300 , sodass
    \displaystyle x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}

    Weil \displaystyle 100 > 99 gilt für die Brüche mit dem selben Nenner 300, dass \displaystyle \frac{100}{300} > \frac{99}{300} und darum ist \displaystyle x>y.

    Oder man schreibt beide Zahlen als Dezimalzahlen und sieht, dass \displaystyle \frac{1}{3}>0{,}33 weil \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33.
  2. Welche Zahl ist größer: \displaystyle \frac{2}{5} oder \displaystyle \frac{3}{7}?

    Wir schreiben die Zahlen mit dem gemeinsamen Nenner \displaystyle 5 \cdot 7 = 35
    \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}
    Also ist \displaystyle \frac{3}{7}>\frac{2}{5} , weil \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}.

Beispiel 12

  1. Gegeben sind die reellen Zahlen \displaystyle x,y,z also \displaystyle x,y,z \in \Bbb{R}, für die gilt \displaystyle x < y.
    Frage: Welche der beiden Zahlen ist grösser \displaystyle x+z oder \displaystyle y+z?

    Antwort:
    Wegen \displaystyle x < y liegt \displaystyle x links von \displaystyle y auf der Zahlengeraden.
    Die Addition von \displaystyle z verschiebt die Zahlen \displaystyle x und \displaystyle y auf der Zahlengeraden auf die gleiche Weise: Für \displaystyle z > 0 werden \displaystyle x und \displaystyle y um \displaystyle |z| nach rechts verschoben, für \displaystyle z < 0 werden \displaystyle x und \displaystyle y um \displaystyle |z| nach links verschoben. Da beide Zahlen gleich weit verschoben werden, ändert sich nicht, dass \displaystyle x links von \displaystyle y liegt und \displaystyle x+z liegt weiterhin links von \displaystyle y+z.
    Also ist \displaystyle y+z die größere Zahl.

  2. Es sind \displaystyle x,y \in \Bbb{R} und \displaystyle x < y. Frage: welche der beiden Zahlen \displaystyle -x , -y ist größter als die andere?

    Antwort:
    Wegen \displaystyle x < y liegt \displaystyle x links von \displaystyle y auf der Zahlengeraden.
    \displaystyle -x ist die Gegenzahl von \displaystyle x: Wenn \displaystyle x > 0 ist, also rechts von 0 liegt, so liegt \displaystyle -x links von der Null und \displaystyle -x < 0. Wenn aber \displaystyle x < 0 ist, also links von 0 liegt, dann liegt \displaystyle -x rechts von der Null und \displaystyle -x > 0. Ebenso ist \displaystyle -y die Gegenzahl von \displaystyle y.
    Wenn wir statt \displaystyle x und \displaystyle y die Gegenzahlen \displaystyle -x und \displaystyle -y betrachten, ist es dasselbe als wenn wir \displaystyle x und \displaystyle y an \displaystyle 0 spiegeln: Wenn \displaystyle x links von \displaystyle y liegt, dann liegt \displaystyle -x rechts von \displaystyle -y und \displaystyle -y < -x.
    Also ist \displaystyle -x die größere der beiden Zahlen.

    Dies ist eine bekannte Rechenregel: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (z.B. -1) verändert die Ungleichung ihre Richtung: \displaystyle x < y gilt dann und nur dann, wenn \displaystyle -y < -x gilt.



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Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr über die Grundrechenarten in der Wikipedia

Wer hat die Null entdeckt ? Eine Antwort findest Du im "The MacTutor History of Mathematics archive" (engl.)

Schriftliche Division (engl.)

Wisst Ihr, dass 0,999... = 1 gilt?


Nützliche Websites

Wieviele Farben werden gebraucht um eine Karte einzufärben? Wie oft sollten Karten gemischt werden? Welche Primzahl ist die Größte? Gibt es "Glückszahlen"? Höre dem berühmten Autor und Mathematiker Simon Singh zu, wenn er von Primzahlen, den magischen Zahlen 4 und 7 und dem Konzept der Null erzählt.

Hör Dir die BBC Sendung "5 Numbers" an (engl.)

Hör Dir die BBC Sendung "Another 5 numbers" an (engl.)

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