Lösung 1.1:7b

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Ett rationellt tal har alltid en decimalutveckling som från och med en viss decimal upprepar sig periodiskt.
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Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
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I vårt fall så upprepas sekvensen 1416 i all oändlighet
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In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.
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<center><math>3{,}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
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<center><math>3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
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Med andra ord är talet rationellt.
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Also ist unsere Zahl rational.
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Nästa problem är att skriva om talet som ett bråktal och då utnyttjar vi att multiplikation med 10 flyttar decimalkommat ett steg åt höger.
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Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.
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Om vi skriver
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Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\color{red}{&#130;}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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så är därför
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und
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\color{red}{&#130;}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\color{red}{&#130;}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\color{red}{&#130;}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\color{red}{&#130;}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
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Notera att i 10000''x'' har vi flyttat decimalkommat tillräckligt många steg så att decimalutvecklingen av 10000''x'' har kommit i fas med decimalutvecklingen av ''x'', dvs. de har samma decimalutveckling.
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Jetzt sieht man, dass 10000''x'' nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie ''x'' hat.
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Därför är
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Also,
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::<math>10000x-x = 31416\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
+
::<math>10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(decimalerna tar ut varandra)
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::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(die Nachkommastellen verschwinden)
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och eftersom <math>10000x-x = 9999x</math> så har vi alltså sambandet
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und nachdem <math>10000x-x = 9999x</math> haben wir
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
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Löser vi ut ''x'' ur detta samband får vi ''x'' som en kvot mellan två heltal
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Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
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Aktuelle Version

Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.

\displaystyle 3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

Also ist unsere Zahl rational.

Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.

Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

und

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots

Jetzt sieht man, dass 10000x nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie x hat.

Also,

\displaystyle 10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots
\displaystyle \phantom{10000x-x}{}= 31413\quad(die Nachkommastellen verschwinden)

und nachdem \displaystyle 10000x-x = 9999x haben wir

\displaystyle 9999x = 31413\,\mbox{.}

Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass

\displaystyle x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}
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