Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 07:16, 21. Aug. 2008 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (10:45, 25. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Tek (Diskussion | Beiträge) (Replaced figure with metapost figure)
(Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für <math>\sin 160^{\circ}</math>
-	<center> [[Image:4_3_9-1(2).gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+
-	{{NAVCONTENT_START}}	+
-	<center> [[Image:4_3_9-2(2).gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+
-	[[Image:4_3_9.gif|center]]	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor <math>\sin 80^{\circ}</math>, nachdem wir den Faktor <math>\cos 80^{\circ}</math> behalten möchten:
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,.</math>}}
		+
		+	Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor <math>\sin 40^{\circ}</math>
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
		+
		+	Also haben wir gezeigt, dass
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
		+
		+	Anders geschrieben:
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	<center>{{:4.3.9 - Solution - The unit circle with angles 20° and 160°}}</center>
		+
		+	Zeichnen wir den Winkel <math>160^{\circ}</math> im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe ''y''-Koordinate wie der Winkel <math>20^{\circ}</math> hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir
		+
		+	<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
		+
		+	Damit haben wir die Gleichung
		+
		+	<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>

---

Aktuelle Version

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für \displaystyle \sin 160^{\circ}

\displaystyle \sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}

Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor \displaystyle \sin 80^{\circ}, nachdem wir den Faktor \displaystyle \cos 80^{\circ} behalten möchten:

\displaystyle 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,.

Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor \displaystyle \sin 40^{\circ}

\displaystyle 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}

Also haben wir gezeigt, dass

\displaystyle \sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}

Anders geschrieben:

\displaystyle \cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}

Zeichnen wir den Winkel \displaystyle 160^{\circ} im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe y-Koordinate wie der Winkel \displaystyle 20^{\circ} hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir

\displaystyle \sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}

Damit haben wir die Gleichung

\displaystyle \cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}