Lösung 4.1:10

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.
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Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück ''y'' und ''z'', wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen ''y'' und ''z'' (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).
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Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>|(1)}}
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Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>y^2 = x^2 + 12^2\,,</math>|(2)}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3)}}
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Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst ''z'' eliminieren, und eine Gleichung mit nur ''x'' und ''y'' erhalten. Danach eliminieren wir ''y'', und erhalten so eine Gleichung mit nur ''x''.
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Von (1) erhalten wir <math>z = 54-y</math>, und dies in (3) ergibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>(54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3')}}
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Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten ''x'' und ''y'',
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
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& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]
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& (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}
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\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align}</math>}}
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Wir erweitern die Quadraten in (3'),
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{{Abgesetzte Formel||<math>54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,</math>}}
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und vereinfachen
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{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}
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Wir verwenden (2) und ersetzen <math>y^2</math> mit <math>x^2+12</math> in dieser Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,.</math>}}
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So eliminieren wir alle''x''²-Terme:
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{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,.</math>}}
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Durch weitere Vereinfachung erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>12x + 108y = 1728</math>|(3")}}
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Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
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& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]
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& 12x+108y=1728\,\textrm{.}
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\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align}</math>}}
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Wir lösen ''y'' in der Gleichung (3"),
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{{Abgesetzte Formel||<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>}}
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und ersetzen ''y'' mit <math>16-\frac{x}{9}</math> in (2),
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}
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Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ''x''. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:
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{{Abgesetzte Formel||<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.</math>}}
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Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}
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und erhalten damit
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>81/80</math>, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0</math>}}
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oder
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}
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also ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}
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Also hat die Gleichung die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}
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Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).
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Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst ''y'' und ''z'' berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit ''x'' die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.
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Die Gleichung (3") gibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15</math>}}
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und die Gleichung (1) gibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}
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Jetzt prüfen wir, ob <math>x=9</math>, <math>y=15</math> und <math>z=39</math> die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt]
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\textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt]
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\textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt]
 +
\textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt]
 +
\textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt]
 +
\textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.

Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück y und z, wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen y und z (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).


[Image]

Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir

\displaystyle y+z=54\,\textrm{.} (1)

Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir

\displaystyle y^2 = x^2 + 12^2\,, (2)
\displaystyle z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} (3)

Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst z eliminieren, und eine Gleichung mit nur x und y erhalten. Danach eliminieren wir y, und erhalten so eine Gleichung mit nur x.

Von (1) erhalten wir \displaystyle z = 54-y, und dies in (3) ergibt

\displaystyle (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} (3')

Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten x und y,

\displaystyle \left\{ \begin{align}

& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} \end{align} \right.

\displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align}

Wir erweitern die Quadraten in (3'),

\displaystyle 54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,

und vereinfachen

\displaystyle 2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}

Wir verwenden (2) und ersetzen \displaystyle y^2 mit \displaystyle x^2+12 in dieser Gleichung

\displaystyle 2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,.

So eliminieren wir allex²-Terme:

\displaystyle 2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,.

Durch weitere Vereinfachung erhalten wir

\displaystyle 12x + 108y = 1728 (3")

Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.

\displaystyle \left\{ \begin{align}

& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & 12x+108y=1728\,\textrm{.} \end{align} \right.

\displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align}

Wir lösen y in der Gleichung (3"),

\displaystyle y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}

und ersetzen y mit \displaystyle 16-\frac{x}{9} in (2),

\displaystyle \Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}

Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten x. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:

\displaystyle 16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.

Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite

\displaystyle x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,

und erhalten damit

\displaystyle \frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 81/80, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:

\displaystyle x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt

\displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0

oder

\displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,

also ist

\displaystyle x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}

Die Antwort ist also \displaystyle x=9\ \textrm{dm} (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).

Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst y und z berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit x die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.

Die Gleichung (3") gibt

\displaystyle y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15

und die Gleichung (1) gibt

\displaystyle z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}

Jetzt prüfen wir, ob \displaystyle x=9, \displaystyle y=15 und \displaystyle z=39 die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:

\displaystyle \begin{align}

\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.} \end{align}

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