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Lösung 3.3:6c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Aktuelle Version (11:33, 12. Jun. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(Sprache und Formulierung)
 
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Wir verwenden die Logarithmengesetze
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\log a^b &= b\cdot\log a\,\text{und}\\[5pt]
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\log (a\cdot b) &= \log a+\log b\,,
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\end{align}</math>}}
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um den Ausdruck zu vereinfachen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\log_{3}\log _{2}3^{118}
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&= \log_{3}(118\cdot\log_{2}3)\\[5pt]
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&= \log_{3}118 + \log_{3}\log_{2}3\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Mit den Relationen <math>2^{\log_{2}x} = x</math> und <math>3^{\log_{3}x} = x</math> erhalten wir <math>\log_{2}</math> und <math>\log_{3}</math> als <math>\ln</math> ausgedrückt:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
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Die beiden Terme <math>\log_3 118</math> und <math>\log_3\log_2 3</math> können deshalb als
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{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}118 = \frac{\ln 118}{\ln 3}\quad</math> und <math>\quad\log_{3}\log_{2}3 = \log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}\,</math>}}
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geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach <math>\log _{3}</math> in ln umzuwandeln:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\log_{3}\frac{\ln 3}{\ln 2}
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&= \log_{3}\ln 3 - \log_{3}\ln 2\\[5pt]
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&= \frac{\ln\ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Zusammen erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118} = \frac{\ln 118}{\ln 3} + \frac{\ln \ln 3}{\ln 3} - \frac{\ln\ln 2}{\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
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Mit den Rechner erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\log_{3}\log_{2}3^{118}\approx 4\textrm{.}762\,\textrm{.}</math>}}
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Hinweis: auf dem Rechner schreiben wir
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Aktuelle Version

Wir verwenden die Logarithmengesetze

logablog(ab)=blogaund=loga+logb

um den Ausdruck zu vereinfachen

log3log23118=log3(118log23)=log3118+log3log23.

Mit den Relationen 2log2x=x und 3log3x=x erhalten wir log2 und log3 als ln ausgedrückt:

log2x=lnxln2 und log3x=lnxln3.

Die beiden Terme log3118 und log3log23 können deshalb als

log3118=ln3ln118 und log3log23=log3ln2ln3

geschrieben werden. Mit Hilfe des Logarithmengesetzes log (a/b) = log a – log b können wir den Ausdruck weiter vereinfachen und danach log3 in ln umzuwandeln:

log3ln2ln3=log3ln3−log3ln2=ln3lnln3−ln3lnln2.

Zusammen erhalten wir

log3log23118=ln3ln118+ln3lnln3−ln3lnln2.

Mit den Rechner erhalten wir

log3log231184.762.


Hinweis: auf dem Rechner schreiben wir


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