Lösung 3.1:3b - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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+			Lösung 3.1:3b
			
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- {{NAVCONTENT_START}} + Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.
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- {{NAVCONTENT_STOP}} + Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir
- {{NAVCONTENT_START}} +  
- <center> [[Image:3_1_3b-2(2).gif]] </center> + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- {{NAVCONTENT_STOP}} + 96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\ 
  + &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt] 
  + 18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}. 
  + \end{align}</math>}}
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  + Also 
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] 
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  + \end{align}</math>}}
  +  
  + Für den Bruch gilt also
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
  +  
  + Hinweis: Wir können auch mit Potenzen rechnen
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
  + &= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
  + = \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}}
  + = \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt] 
  + &= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1}
  + = 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}}
  + = \frac{4}{\sqrt{3}}
  + = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.
Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\ 
&= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt] 
18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}. 
\end{align}



Also 





\displaystyle \begin{align}
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] 
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,. 
\end{align}



Für den Bruch gilt also





\displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}


Hinweis: Wir können auch mit Potenzen rechnen





\displaystyle \begin{align}
\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
&= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
= \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}}
= \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt] 
&= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1}
= 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}}
= \frac{4}{\sqrt{3}}
= \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:3b“
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-{{NAVCONTENT_START}}
+Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.
-<center> [[Image:3_1_3b-1(2).gif]] </center>
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir
-{{NAVCONTENT_START}}
-<center> [[Image:3_1_3b-2(2).gif]] </center>
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-{{NAVCONTENT_STOP}}
+&= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\
+&= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt]
+&= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}.
+\end{align}</math>}}
+Also
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt]
+\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,.
+\end{align}</math>}}
+Für den Bruch gilt also
+{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
+Hinweis: Wir können auch mit Potenzen rechnen
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
+&= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
+= \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}}
+= \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt]
+&= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1}
+= 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}}
+= \frac{4}{\sqrt{3}}
+= \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\ 
&= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt] 
18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}. 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] 
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,. 
\end{align}
 \displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
&= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
= \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}}
= \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt] 
&= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1}
= 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}}
= \frac{4}{\sqrt{3}}
= \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
\end{align}