Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Aktuelle Version

Wir faktorisieren die beiden Nenner

\displaystyle \begin{align} y^{2}-2y &= y(y-2)\\ y^{2}-4 &= (y-2)(y+2) \end{align}

und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle y(y-2)(y+2) ist.

Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen

\displaystyle \begin{align} \frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4} &= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt] &= \frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} - \frac{2y}{(y-2)(y+2)y}\\[5pt] &= \frac{y+2-2y}{y(y-2)(y+2)}\\[5pt] &= \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)}\,\textrm{.} \end{align}

Der Zähler kann wie \displaystyle -y+2=-(y-2) geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor \displaystyle y-2 kürzen

\displaystyle \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}