Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 15:09, 15. Aug. 2008 (bearbeiten) Madde (Diskussion | Beiträge) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (12:35, 24. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Tek (Diskussion | Beiträge) (Replaced figures with metapost figures)
(Der Versionsvergleich bezieht 10 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Zuerst subtrahieren wir <math>2\pi</math> von <math>11\pi/3</math>, sodass wir einen Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.
-	<center> [[Bild:4_2_4b-1(2).gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
-	{{NAVCONTENT_START}}	+
-	<center> [[Bild:4_2_4b-2(2).gif]] </center>	+	Danach schreiben wir <math>5\pi/3</math> als Summe von <math>\pi</math>- und <math>\pi/2</math>-Termen,
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+
-	[[Bild:4_2_4b1.gif]]	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
-	[[Bild:4_2_4_b2.gif]]	+
		+	Somit sehen wir, dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.
		+
		+	<center>{{:4.2.4b - Solution - The unit circle with angle 5π/3}}</center>
		+
		+	Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht:
		+
		+	{| width="100%"
		+	|width="50%" align="center"|{{:4.2.4b - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}
		+	|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
		+	|}
		+
		+	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math>, also ist
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

---

Aktuelle Version

Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 2\pi von \displaystyle 11\pi/3, sodass wir einen Winkel zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.

\displaystyle \cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}

Danach schreiben wir \displaystyle 5\pi/3 als Summe von \displaystyle \pi- und \displaystyle \pi/2-Termen,

\displaystyle \frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Somit sehen wir, dass \displaystyle 5\pi/3 im vierten Quadrant liegt, und den Winkel \displaystyle \pi/6 mit der negativen y-Achse bildet.

Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel \displaystyle 5\pi/3\, entspricht:

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}

Der Punkt hat also die Koordinaten \displaystyle (1/2,-\sqrt{3}/2), also ist

\displaystyle \cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}