Lösung 2.2:9c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (14:48, 18. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(Replaced figures with metapost figure)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 16 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.
-
[[Bild:2_2_9_c-1(5)_1.gif|center]]
+
-
[[Bild:2_2_9_c-1(5)_2.gif|center]]
+
{| align="center"
 +
|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region x + y ≥ 2}}
 +
|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region 2x - y ≤ 2}}
 +
|-
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;≥&nbsp;-2</small>
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet 2''x''&nbsp;-&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
 +
|-
 +
|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region 2y - x ≤ 2}}
 +
|-
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet 2''y''&nbsp;-&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
 +
|}
-
[[Bild:2_2_9_c-1(5)_3.gif|center]]
+
Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.
-
<center> [[Bild:2_2_9c-1(5).gif]] </center>
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
 
-
{{NAVCONTENT_START}}
 
-
[[Bild:2_2_9_c-2(5).gif|center]]
 
-
<center> [[Bild:2_2_9c-2(5).gif]] </center>
+
<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle defined by x + y ≥ 2, 2x - y ≤ 2 and 2y - x ≤ 2}}</center>
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
-
[[Bild:2_2_9_c-3(5).gif|center]]
+
-
<center> [[Bild:2_2_9c-3(5).gif]] </center>
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
 
-
{{NAVCONTENT_START}}
 
-
[[Bild:2_2_9_c-4(5).gif|center]]
 
-
<center> [[Bild:2_2_9c-4(5).gif]] </center>
+
Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
-
[[Bild:2_2_9_c-5(5).gif|center]]
+
-
<center> [[Bild:2_2_9c-5(5).gif]] </center>
+
Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
 +
(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad
 +
\text{und}\qquad
 +
(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}
 +
 
 +
 
 +
<ol>
 +
<li>Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
|align="right"|<math>y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>-2</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>+\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>2x</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
||<math>y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>2</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
|align="right"|<math>3x</math>
 +
||
 +
||
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>0</math>
 +
|}
 +
 
 +
So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der Gleichung <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li>
 +
<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
|align="right"|<math>y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>-2</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>+\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>-x</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
||<math>2y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>2</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
||
 +
||
 +
|align="right"|<math>3y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>0</math>
 +
|}
 +
 
 +
Wir erhalten also <math>y=0</math> und <math>x=-2</math>.</li>
 +
 
 +
<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>-x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}
 +
 
 +
Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>
 +
</ol>
 +
 
 +
Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).
 +
 
 +
 
 +
<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle with vertices in (-2,0), (0,-2) and (2,2)}}</center>
 +
 
 +
 
 +
Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}
 +
 
 +
berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.
 +
 
 +
 
 +
<center>{{:2.2.9c - Solution - Two triangles with a common vertex in (0,A)}}</center>
 +
 
 +
Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}
 +
 
 +
Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).
 +
 
 +
Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen
 +
 
 +
 
 +
{| align="center"
 +
|colspan=3 align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The left-most triangles with a base and height}}
 +
||
 +
|colspan=3 align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The right-most triangles with a base and height}}
 +
|-
 +
|align="right"|Basis
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
 +
|width="10"|&nbsp;
 +
|align="right"|Basis
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
 +
|-
 +
|align="right"|Höhe
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|0&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;2
 +
|width="10"|&nbsp;
 +
|align="right"|Höhe
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|2&nbsp;-&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;2
 +
|-
 +
|align="right"|Fläche
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
 +
||
 +
|align="right"|Fläche
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.

[Image]

[Image]

Das Gebiet x + y ≥ -2 Das Gebiet 2x - y ≤ 2

[Image]

Das Gebiet 2y - x ≤ 2

Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.


[Image]


Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.

Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen

\displaystyle (1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad

(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{und}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.


  1. Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle 2x \displaystyle {}-{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    So erhalten wir also \displaystyle x=0, und von der Gleichung \displaystyle x+y=-2 erhalten wir \displaystyle y=-2.
  2. Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle -x \displaystyle {}+{} \displaystyle 2y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3y \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    Wir erhalten also \displaystyle y=0 und \displaystyle x=-2.
  3. Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir y in der zweiten Gleichung mit \displaystyle 2x-2 ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach x in die erste Gleichung einsetzen.
    \displaystyle -x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}
    Und also ist \displaystyle y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}

Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).


[Image]


Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}

berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur x- oder y-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der y-Achse ist.


[Image]

Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade \displaystyle 2y-x=\text{2 } und der y-Achse ist

\displaystyle \left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.

Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).

Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen


[Image]

[Image]

Basis  =  1 - (-2) = 3   Basis  =  1 - (-2) = 3
Höhe  =  0 - (-2) = 2   Höhe  =  2 - 0 = 2
Fläche  =  ½·3·2 = 3 Fläche  =  ½·3·2 = 3


Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:

\displaystyle \text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:9c“