1.1 Verschiedene Zahlen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Vald flik|[[1.1 Olika typer av tal|Theory]]}}
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{{Gewählter Tab|[[1.1 Verschiedene Zahlen|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[1.1 Övningar|Exercises]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[1.1 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
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'''Contents:'''
+
'''Inhalt:'''
-
* Natural numbers
+
* Natürliche Zahlen
-
* Negative numbers
+
* Negative Zahlen
-
* Order of precedence and parenthesis
+
* Operatorrangfolge und Klammern
-
* Rational numbers
+
* Rationale Zahlen
-
* Briefly about irrational numbers
+
* Irrationale Zahlen (Übersicht)
-
* Real numbers
+
* Reelle Zahlen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Learning outcomes:'''
+
'''Lernziele'''
-
After this section, you will have learned to:
+
Nach diesem Abschnitt sollst Du ...
-
* Calculate an expression that contains integers, the four arithmetic operations and parentheses.
+
* ... die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
-
* Know the difference between the natural numbers, integers, rational numbers and irrational numbers.
+
* ... den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
-
* Convert fractions to decimals, and vice versa.
+
* ... Brüche als Dezimalzahlen und Dezimalzahlen als Brüche schreiben können.
-
* Determine which of two fractions is the larger, either by a decimal expansion or by cross multiplication.
+
* ... den Wert zweier Zahlen vergleichen können.
-
* Determine an approximate value to a decimal number and a fraction to a given number of decimal places.
+
* ... Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden können.
}}
}}
-
== Calculations with numbers ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
 +
== A. Rechnungen mit Zahlen ==
-
Calculating with numbers requires you to perform a series of operations. These are the four basic operations of arithmetic. Here are some concepts that are helpful to know in order to understand a mathematical text:
 
 +
Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:
-
<center>{{:1.1 - Figur - Räkneoperationer}}</center>
+
 
 +
 
 +
<center>{{:1.1 - Bild - Grundrechnungsarten der Arithmetik}}</center>
-
When you add numbers the sum does not depend on the order in which the terms are added together
+
Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal
-
{{Fristående formel||<math>3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}</math>}}
-
As regards subtraction, the order is important of course.
+
Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.
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{{Fristående formel||<math>5-2=3 \quad \mbox{whereas} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}</math>}}
 +
Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer eine nicht negative Zahl. Um den Abstand zu berechnen, muss man also die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Der Abstand zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Den Abstand schreibt man als Betrag der Differenz, also
-
When we talk about the difference between two numbers we usually mean the difference between the larger and the smaller . Thus, we understand that, the difference between 2 and 5 is 3.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>| 5-2| = |2-5|=3\,\mbox{.}</math>}}
-
When numbers are multiplied, their order is not important.
+
Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal
-
{{Fristående formel||<math>3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}</math>}}
-
For division the order is of importance.
+
Bei der Division hingegen wieder nicht.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{6}{3} = 2\quad\mbox{whereas}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}</math>}}
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Dass bei der Addition, Multiplikation und dem Abstand die Reihenfolge egal ist, bedeutet, dass für diese Operationen das Kommutativgesetz gilt.
 +
 +
<div class="regel">
 +
'''Kommutativgesetz'''
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>a+b = b+a </math>}}
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> a \cdot b = b \cdot a </math>}}
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> | a -b | = | b -a | </math>}}
 +
Für <math> a,b \in \Bbb{R}</math>
 +
</div>
 +
 +
Für die Addition und die Multiplikation gilt auch das Assoziativgesetz:
 +
<div class="regel">
 +
'''Assoziativgesetz'''
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)+c = a + (b +c) </math>}}
 +
{{Abgesetzte Formel||<math> (a \cdot b) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c) </math>}}
 +
für <math> a,b \in \Bbb{R}</math>
 +
</div>
-
== Hierarchy of arithmetic operations (priority rules)==
+
== B - Operatorrangfolge ==
 +
Wenn ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:
-
If several mathematical operations occur in a mathematical expression, it is important to have a standard for the order in which the operations are to be carried out. The following rules apply:
+
1. Klammern (die innersten Klammern zuerst) <br>
 +
2. Multiplikation und Division <br>
 +
3. Addition und Subtraktion <br>
-
* Parentheses ( brackets, "innermost brackets" first)
+
Man sagt auch "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", wobei Multiplikation und Division als Punktrechnung gelten und Addition und Subtraktion als Strichrechnung.
-
* Multiplication and Division (from left to right)
+
-
* Addition and subtraction (from left to right)
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 1'''
+
'''Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 94: Zeile 117:
</div>
</div>
-
=== "Invisible" parentheses ===
+
=== C -"Unsichtbare" Klammern ===
-
 
+
Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare Klammern" gibt.
-
For division the numerator and the denominator must be calculated separately before the division is carried out. One can therefore say that there are "invisible parentheses" around the numerator and denominator.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
'''Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 110: Zeile 132:
</div>
</div>
-
This is especially important if calculators are used.
+
Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.
-
Division
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{8+4}{2+4}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\frac{8+4}{2+4}</math>}}
+
muss als <math>(8 + 4 )/(2 + 4)</math> geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort <math>2</math> gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen <math>8 + 4/2 + 4</math> schreibt. Dies interpretiert der Rechner als <math>8 + (4/2) + 4 = 14 </math> (nach Punkt-vor-Strich-Regel) oder als <math>(8 + 4)/2 + 4 = 10</math>. (Wenn er die Punkt-vor-Strich-Regel nicht berücksichtigt)
-
must be written as <math>(8 + 4 )/(2 + 4)</math> for a calculator so that the correct answer <math>2</math> may be otained. A common mistake is to write <math>8 + 4/2 + 4</math>, which the calculator interprets as <math>8 + 2 + 4 = 14</math>.
+
== D - Verschiedene Zahlen ==
 +
Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:
-
== Different types of numbers ==
 
-
The numbers we use to describe the “how many” and size, etc.., are called generically the real numbers and can be illustrated by a straight line real-number axis:
+
<center>{{:1.1 - Bild - Zahlengerade}}</center>
-
<center>{{:1.1 - Figur - Tallinje}}</center>
+
Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man <math>\Bbb{R}</math>. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < <math> \sqrt{2} </math> oder <math> - \frac{4}{3} < e </math>.
-
The real numbers "fill" real-number axis:, ie. there are no holes or spaces along the real-number axis. Each point on the real-number axis can be specified by a decimal. The set of real numbers are all the decimals , and is denoted by “R”. The real-number axis also shows the relative magnitude of numbers; a number to the right is always higher than a number to the left. It is standard to classify the real numbers into the following types:
+
In den reellen Zahlen gibt es folgende Mengen von Zahlen:
 +
''Natürliche Zahlen'' (normalerweise mit <math>\Bbb{N}</math> bezeichnet)
-
''Natural numbers'' (usually symbolised by the letter N)
+
Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ...
 +
Wir schreiben auch <math>\Bbb{N} = \{ 0,1,2, ... \} </math> und benutzen <math> a \in \Bbb{N}</math> , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist.
 +
Dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, schreiben wir als <math>\Bbb{N} \subset \Bbb{R}</math>.
-
The numbers which are used when we calculate “how many”: 0, 1, 2, 3, 4, ...
 
 +
''Ganze Zahlen'' (<math>\Bbb{Z}</math>)
-
''Integers'' ('''Z''')
+
Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
 +
Wir schreiben auch <math>\Bbb{Z} = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} </math> und benutzen <math> n \in \Bbb{Z}</math>, um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist.
 +
Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: <math> \Bbb{N} \subset \Bbb{Z} \subset \Bbb{R}</math>.
-
The natural numbers and their negative counterparts: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
 
 +
''Rationale Zahlen'' (<math>\Bbb{Q}</math>)
-
''Rational numbers '' ('''Q''')
+
Die rationalen Zahlen sind die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und deren Nenner nicht 0 ist. Die folgenden Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128} \in \Bbb{Q}</math>}}
-
All the numbers that can be written as a ratio of whole numbers (fractions), for example,
+
Wir schreiben auch <math>\Bbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 \} </math>.
-
{{Fristående formel||<math>-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{etc.}</math>}}
+
-
Note that even integers count as rational numbers, because real-number axis
+
Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:
-
{{Fristående formel||<math>-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}</math>}}
 +
Wir schreiben dafür auch <math> \Bbb{Z} \subset \Bbb{Q} \subset \Bbb{R}</math>.
 +
Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}</math>}}
 +
 +
Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.
-
A rational number can be written in various ways since, for example,
 
-
{{Fristående formel||<math>2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}</math>}}
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 3'''
+
'''Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Multiplying the numerator and denominator of a rational number with the same factor does not change the value of the number
+
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}
-
= \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}
+
= \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}
-
= \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}</math>}}
+
= \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}</math>}}
</li>
</li>
-
<li>Dividing the numerator and denominator of a rational number with the same factor, is called reducing and does not change the value of the number.
+
<li> Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
-
{{Fristående formel||<math>\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}
-
= \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7}
+
= \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7}
-
\quad\mbox{etc.}</math>}}
+
\quad\mbox{etc.}</math>}}
</li>
</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
''Irrational numbers''
+
''Irrationale Zahlen''
-
The numbers on the real-number axis that can not be written as a fraction are called irrational numbers. Examples of irrational numbers are most roots, for example
+
Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:
-
<math>\sqrt{2}</math> och <math>\sqrt{3}</math>,but also numbers such as <math>\pi</math>
 
-
=== Decimal form ===
+
<math>\sqrt{2}</math> und <math>\sqrt{3}</math>, aber auch andere Zahlen, wie <math>\pi</math>.
 +
=== E - Dezimaldarstellung ===
-
All types of real numbers can be written in decimal form, with an arbitrary number of decimal places. Decimal integers written to the right of the decimal point specify the number of tenths, hundredths, thousandths, and so on., In the same way as the integers to the left of the decimal point indicates the number of units, tens, hundreds, and so on.
 
-
<center>{{:1.1 - Figur - Decimalform}}</center>
+
Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.
 +
 
 +
<center>{{:1.1 - Bild - Dezimalform}}</center>
 +
 
 +
Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit <math>1, 10, 100, ...</math> multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit <math> \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ...</math> multipliziert werden.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 4'''
+
'''Beispiel 4'''
-
{{Fristående formel||<math>1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}</math>}}
</div>
</div>
 +
Die Brüche <math> \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} </math> und <math> \frac{12 345 678}{10000} </math> heißen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist und zehn auf lateinisch decem heißt.
-
A rational number can be written in decimal form by performing the division. Thus the <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> is the same as "3 divided by 4", i.e. 0.75.
+
Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> gleich "3 durch 4", oder 0,75). Manche rationale Zahlen können auch auf einen Dezimalbruch erweitert werden (z.B. ist <math> \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 </math>).
-
Read [http://sv.wikipedia.org/wiki/Liggande_stolen liggande stolen] on wikipedia.
+
Mehr über [http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division Schriftliche Division] auf Wikipedia.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
'''Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\frac{1}{2} = 0{.}5 = 0{.}5\underline{0}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\overline{0}</math></li>
-
<li><math>\frac{1}{3} = 0{.}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\overline{3}</math></li>
-
<li><math> \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}</math></li>
+
<li><math> \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\overline{6}</math></li>
-
<li><math>\frac{1}{7} =0{.}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}</math></li>
+
<li><math>\frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\overline{142857}</math></li>
</ol>
</ol>
-
(underlining signifies that the decimal is repeated)
+
(Die Zahlen, über denen sich ein Strich befindet, wiederholen sich unendlich oft.)
</div>
</div>
-
As can be seen the rational numbers above have a periodic decimal expansion, ie. The decimal expansion, ends up with a finite block of digits that is repeated endlessly. This applies to all rational numbers and distinguishes them from the irrational numbers, which do not have a periodic pattern in their decimal expansion.
+
Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos oft wiederholt. (Gegebenenfalls wiederholt sich die 0 unendlich oft. Siehe Bsp. 5 a.) Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
-
 
+
-
 
+
 +
Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.
-
Conversely it is also true that all numbers with a periodic decimal expansion are rational.
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 6'''
+
'''Beispiel 6'''
-
The numbers <math>\pi</math> and<math>\sqrt{2}</math> are irrational and therefore have no periodic patterns in their decimal expansion.
+
Die Zahlen <math>\pi</math> und <math>\sqrt{2}</math> sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots</math></li>
<li><math>\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots</math></li>
Zeile 227: Zeile 259:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
'''Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 237: Zeile 269:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 8'''
+
'''Beispiel 8'''
-
The number<math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> is rational, because it has a periodic decimal expansion. We can write this rational rational number as a ratio of two integers as follows.
+
Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, weil sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch in der Form <math> x= \frac{m}{n} </math> mit <math> m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0</math> zu schreiben, machen wir folgendes:
-
Multiply the number by 10 which moves the decimal point one step to the right.
+
Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.
-
{{Fristående formel||<math>\quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots</math>}}
-
Multiply the number by <math>10\cdot 10\cdot 10 = 1000</math> moving the decimal point three steps to the right
+
Genauso verschiebt sich das Komma <math>3</math> Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit <math>10\cdot 10\cdot 10 = 1000</math> multiplizieren.
-
{{Fristående formel||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}
 +
Die Zahlen <math>1000\,x</math> und <math>10\,x</math> haben nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,
-
Now we see that <math>1000\,x</math> and <math>10\,x</math> have the same decimal expansion so the the difference between the numbers
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}
+
muss eine ganze Zahl sein, weil die Dezimalen nach dem Komma einander aufheben.
-
must be an integer.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}
+
also ist
-
So that
+
-
{{Fristående formel||<math>\quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
=== Rounding off===
+
=== F - Rundung ===
-
Since it is impractical to use long decimal expansions one often rounds off a number to an appropriate number of decimal places. The standard practise is that the numbers 0, 1, 2, 3 and 4 are rounded down while 5, 6, 7, 8 and 9 are rounded up.
+
Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern <math>0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4</math> werden abgerundet, während die Ziffern <math>5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9</math> aufgerundet werden.
-
We use the symbol <math>\approx</math> (is approximately equal to) to show that a rounding off has taken place.
+
Das Symbol <math>\approx</math> (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 9'''
+
'''Beispiel 9'''
-
Rounding off to 3 decimal places:
+
Rundung auf 3 Dezimalstellen genau:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>1{,}0004 \approx 1,000</math></li>
<li><math>1{,}0004 \approx 1,000</math></li>
Zeile 284: Zeile 316:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 10'''
+
'''Beispiel 10'''
-
Rounding off to 4 decimal places:
+
Rundung auf 4 Dezimalstellen nach genau:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\pi \approx 3{,}1416 </math></li>
<li><math>\pi \approx 3{,}1416 </math></li>
Zeile 293: Zeile 325:
</div>
</div>
 +
== G - Zahlen vergleichen ==
-
== Comparing numbers ==
 
-
To indicate the relative size between numbers one uses the symbols &gt; (is greater than), &lt; (is less than) and = (is equal to). The relative size between two numbers can be determined either by giving the numbers in decimal form or by representing rational numbers as fractions with a common denominator.
+
Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen &gt; (größer als), &lt; (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit dem selben Nenner schreibt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Example 11'''
+
'''Beispiel 11'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Which is greater <math>\frac{1}{3}</math> or <math>0{,}33</math>?<br/><br/>
+
<li>Welche der beiden Zahlen <math>x=\frac{1}{3}</math> und <math>y=0{,}33</math> ist die größere?<br/><br/>
-
We have that
+
Folgendes gilt:
-
{{Fristående formel||<math>x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{och}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}</math>}}
+
<math>x =\frac{1}{3} \text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} </math> haben den gemeinsamen Nenner <math> 3 \cdot 100 = 300 </math>, sodass
-
So <math>x>y</math> as <math>100/300 > 99/300</math>.<br/><br/>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}</math>}}
-
Alternatively, you can see that <math>1/3>0{,}33</math> as <math>1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33</math>.</li>
+
Weil <math> 100 > 99 </math> gilt für die Brüche mit dem selben Nenner 300, dass <math>\frac{100}{300} > \frac{99}{300}</math> und darum ist <math>x>y</math>.
 +
<br/><br/>
 +
Oder man schreibt beide Zahlen als Dezimalzahlen und sieht, dass <math>\frac{1}{3}>0{,}33</math> weil <math>\frac{1}{3} = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33</math>.</li>
-
<li>Which number is the larger of <math>\frac{2}{5}</math> and <math>\frac{3}{7}</math>?<br/><br/>
+
<li>Welche Zahl ist größer: <math>\frac{2}{5}</math> oder <math>\frac{3}{7}</math>?<br/><br/>
-
Write the numbers with a common denominator, e.g. 35:
+
Wir schreiben die Zahlen mit dem gemeinsamen Nenner <math>5 \cdot 7 = 35</math>
-
{{Fristående formel||<math>\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{och}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}</math>}}
-
Thus <math>\frac{3}{7}>\frac{2}{5}</math> as <math>\frac{15}{35} > \frac{14}{35}</math>.</li>
+
Also ist <math>\frac{3}{7}>\frac{2}{5}</math> , weil <math>\frac{15}{35} > \frac{14}{35}</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
[[1.1 Övningar|Exercises]]
+
<div class="exempel">
 +
'''Beispiel 12'''
 +
<ol type="a">
 +
<li> Gegeben sind die reellen Zahlen <math>x,y,z</math> also <math> x,y,z \in \Bbb{R}</math>, für die gilt <math>x < y</math>. <br>
 +
Frage: Welche der beiden Zahlen ist grösser <math>x+z</math> oder <math>y+z</math>?<br/><br/>
 +
Antwort: <br>
 +
Wegen <math>x < y </math> liegt <math>x </math> links von <math>y</math> auf der Zahlengeraden.<br>
 +
Die Addition von <math>z</math> verschiebt die Zahlen <math>x</math> und <math>y</math> auf der Zahlengeraden auf die gleiche Weise: Für <math>z > 0 </math> werden <math>x </math> und <math>y</math> um <math>|z|</math> nach rechts verschoben, für <math>z < 0</math> werden <math>x</math> und <math>y</math> um <math>|z|</math> nach links verschoben. Da beide Zahlen gleich weit verschoben werden, ändert sich nicht, dass <math>x</math> links von <math>y</math> liegt und <math>x+z</math> liegt weiterhin links von <math>y+z</math>.<br>
 +
Also ist <math>y+z</math> die größere Zahl.
 +
<br><br>
 +
<li> Es sind <math> x,y \in \Bbb{R}</math> und <math>x < y</math>. Frage: welche der beiden Zahlen <math>-x , -y </math> ist größter als die andere?<br/><br/>
 +
Antwort: <br>
 +
Wegen <math>x < y</math> liegt <math>x</math> links von <math>y</math> auf der Zahlengeraden.<br>
 +
<math>-x</math> ist die Gegenzahl von <math>x</math>: Wenn <math>x > 0</math> ist, also rechts von 0 liegt, so liegt <math>-x</math> links von der Null und <math>-x < 0</math>. Wenn aber <math>x < 0</math> ist, also links von 0 liegt, dann liegt <math>-x</math> rechts von der Null und <math>-x > 0</math>. Ebenso ist <math>-y</math> die Gegenzahl von <math>y</math>.<br>
 +
Wenn wir statt <math>x</math> und <math>y</math> die Gegenzahlen <math>-x</math> und <math>-y</math> betrachten, ist es dasselbe als wenn wir <math>x</math> und <math>y</math> an <math>0</math> spiegeln: Wenn <math>x</math> links von <math>y</math> liegt, dann liegt <math>-x</math> rechts von <math>-y</math> und <math>-y < -x</math>.<br>
 +
Also ist <math>-x</math> die größere der beiden Zahlen.<br><br>
 +
Dies ist eine bekannte Rechenregel: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (z.B. -1) verändert die Ungleichung ihre Richtung: <math> x < y </math> gilt dann und nur dann, wenn <math> -y < -x</math> gilt.<br>
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</ol>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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'''Study advice'''
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[1.1 Übungen|Übungen]]''' .
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Basic and final tests'''
 
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After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge"
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'''Remember'''
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'''Vorsicht'''
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Be careful! Many solutions are wrong because of copying errors or other simple errors, and not because your understanding of the question is wrong.
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Sei so genau und exakt, wie es geht, beim Rechnen und beim Eingeben deiner Ergebnisse. So vermeidest du auch Fehler auf Grund von Tippfehlern.
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'''Reviews'''
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'''Literaturhinweise'''
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For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Learn more about arithmetic in the English Wikipedia ]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Grundrechenart Mehr über die Grundrechenarten in der Wikipedia ]
-
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Who discovered zero? Read more in "The MacTutor History of Mathematics archive"]
+
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Wer hat die Null entdeckt ? Eine Antwort findest Du im "The MacTutor History of Mathematics archive" (engl.)]
-
[http://www.fritext.se/matte/grunder/posi3.html Liggande stolen - a description]
+
[http://www.mathsisfun.com/long_division.html Schriftliche Division (engl.)]
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... Did you know that 0,999... = 1?]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch Wisst Ihr, dass 0,999... = 1 gilt?]
-
'''Useful web sites'''
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'''Nützliche Websites'''
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How many colours are needed to colour a map? How many times does one need to shuffle a deck of cards? What is the greatest prime number? Are there any "lucky numbers"? What is the most beautiful number? Listen to the famous writer and mathematician Simon Singh, who among other things, tells about the magic numbers 4 and 7, about the prime numbers, about Keplers piles and about the concept of zero.
+
Wieviele Farben werden gebraucht um eine Karte einzufärben? Wie oft sollten Karten gemischt werden? Welche Primzahl ist die Größte? Gibt es "Glückszahlen"? Höre dem berühmten Autor und Mathematiker Simon Singh zu, wenn er von Primzahlen, den magischen Zahlen 4 und 7 und dem Konzept der Null erzählt.
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Listen to the BBC programmes "5 Numbers" ]
+
[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Hör Dir die BBC Sendung "5 Numbers" an (engl.)]
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[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Listen to the BBC programmes "Another 5 numbers"]
+
[http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Hör Dir die BBC Sendung "Another 5 numbers" an (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Natürliche Zahlen
  • Negative Zahlen
  • Operatorrangfolge und Klammern
  • Rationale Zahlen
  • Irrationale Zahlen (Übersicht)
  • Reelle Zahlen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollst Du ...

  • ... die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
  • ... den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
  • ... Brüche als Dezimalzahlen und Dezimalzahlen als Brüche schreiben können.
  • ... den Wert zweier Zahlen vergleichen können.
  • ... Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden können.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


A. Rechnungen mit Zahlen

Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:


[Image]


Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist immer eine nicht negative Zahl. Um den Abstand zu berechnen, muss man also die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Der Abstand zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Den Abstand schreibt man als Betrag der Differenz, also

\displaystyle | 5-2| = |2-5|=3\,\mbox{.}


Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Bei der Division hingegen wieder nicht.

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}

Dass bei der Addition, Multiplikation und dem Abstand die Reihenfolge egal ist, bedeutet, dass für diese Operationen das Kommutativgesetz gilt.

Kommutativgesetz

\displaystyle a+b = b+a
\displaystyle a \cdot b = b \cdot a
\displaystyle | a -b | = | b -a |

Für \displaystyle a,b \in \Bbb{R}

Für die Addition und die Multiplikation gilt auch das Assoziativgesetz:

Assoziativgesetz

\displaystyle (a+b)+c = a + (b +c)
\displaystyle (a \cdot b) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c)

für \displaystyle a,b \in \Bbb{R}

B - Operatorrangfolge

Wenn ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

1. Klammern (die innersten Klammern zuerst)
2. Multiplikation und Division
3. Addition und Subtraktion

Man sagt auch "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", wobei Multiplikation und Division als Punktrechnung gelten und Addition und Subtraktion als Strichrechnung.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2
  2. \displaystyle 3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12
  3. \displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))} \displaystyle \qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26

C -"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare Klammern" gibt.

Beispiel 2

  1. \displaystyle \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6
  2. \displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2
  3. \displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2

Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort \displaystyle 2 gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + (4/2) + 4 = 14 (nach Punkt-vor-Strich-Regel) oder als \displaystyle (8 + 4)/2 + 4 = 10. (Wenn er die Punkt-vor-Strich-Regel nicht berücksichtigt)

D - Verschiedene Zahlen

Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:


[Image]


Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man \displaystyle \Bbb{R}. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < \displaystyle \sqrt{2} oder \displaystyle - \frac{4}{3} < e .


In den reellen Zahlen gibt es folgende Mengen von Zahlen:


Natürliche Zahlen (normalerweise mit \displaystyle \Bbb{N} bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{N} = \{ 0,1,2, ... \} und benutzen \displaystyle a \in \Bbb{N} , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist. Dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, schreiben wir als \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{R}.


Ganze Zahlen (\displaystyle \Bbb{Z})

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Z} = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} und benutzen \displaystyle n \in \Bbb{Z}, um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist. Die ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, und die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: \displaystyle \Bbb{N} \subset \Bbb{Z} \subset \Bbb{R}.


Rationale Zahlen (\displaystyle \Bbb{Q})

Die rationalen Zahlen sind die Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und deren Nenner nicht 0 ist. Die folgenden Zahlen sind Beispiele für rationale Zahlen

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128} \in \Bbb{Q}

Wir schreiben auch \displaystyle \Bbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 \} .

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}

Wir schreiben dafür auch \displaystyle \Bbb{Z} \subset \Bbb{Q} \subset \Bbb{R}.

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}

Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.


Beispiel 3

  1. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}

    = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}

  2. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}

    = \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{etc.}

Irrationale Zahlen


Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:


\displaystyle \sqrt{2} und \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, wie \displaystyle \pi.

E - Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.

[Image]

Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ... multipliziert werden.

Beispiel 4

\displaystyle 1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}

Die Brüche \displaystyle \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} und \displaystyle \frac{12 345 678}{10000} heißen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist und zehn auf lateinisch decem heißt.

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75). Manche rationale Zahlen können auch auf einen Dezimalbruch erweitert werden (z.B. ist \displaystyle \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75 ).

Mehr über Schriftliche Division auf Wikipedia.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\overline{0}
  2. \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\overline{3}
  3. \displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\overline{6}
  4. \displaystyle \frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\overline{142857}

(Die Zahlen, über denen sich ein Strich befindet, wiederholen sich unendlich oft.)


Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos oft wiederholt. (Gegebenenfalls wiederholt sich die 0 unendlich oft. Siehe Bsp. 5 a.) Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.


Beispiel 6

Die Zahlen \displaystyle \pi und \displaystyle \sqrt{2} sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

  1. \displaystyle \pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots
  2. \displaystyle \sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots

Beispiel 7

  1. \displaystyle 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
  2. \displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}
  3. \displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400}

Beispiel 8

Die Zahl \displaystyle x=0{,}215151515\,\ldots ist rational, weil sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch in der Form \displaystyle x= \frac{m}{n} mit \displaystyle m,n \in \Bbb{Z}, n \not= 0 zu schreiben, machen wir folgendes:

Wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10 multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.

\displaystyle \quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots

Genauso verschiebt sich das Komma \displaystyle 3 Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10\cdot 10\cdot 10 = 1000 multiplizieren.

\displaystyle \quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots

Die Zahlen \displaystyle 1000\,x und \displaystyle 10\,x haben nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,

\displaystyle \quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots

muss eine ganze Zahl sein, weil die Dezimalen nach dem Komma einander aufheben.

\displaystyle \quad 990x = 213\mathrm{.}

also ist

\displaystyle \quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}

F - Rundung

Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.


Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.

Beispiel 9

Rundung auf 3 Dezimalstellen genau:

  1. \displaystyle 1{,}0004 \approx 1,000
  2. \displaystyle 0{,}9999 \approx 1{,}000
  3. \displaystyle 2{,}9994999 \approx 2{,}999
  4. \displaystyle 2{,}99950 \approx 3{,}000

Beispiel 10

Rundung auf 4 Dezimalstellen nach genau:

  1. \displaystyle \pi \approx 3{,}1416
  2. \displaystyle \frac{2}{3} \approx 0{,}6667

G - Zahlen vergleichen

Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit dem selben Nenner schreibt.

Beispiel 11

  1. Welche der beiden Zahlen \displaystyle x=\frac{1}{3} und \displaystyle y=0{,}33 ist die größere?

    Folgendes gilt: \displaystyle x =\frac{1}{3} \text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} haben den gemeinsamen Nenner \displaystyle 3 \cdot 100 = 300 , sodass
    \displaystyle x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{und}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}

    Weil \displaystyle 100 > 99 gilt für die Brüche mit dem selben Nenner 300, dass \displaystyle \frac{100}{300} > \frac{99}{300} und darum ist \displaystyle x>y.

    Oder man schreibt beide Zahlen als Dezimalzahlen und sieht, dass \displaystyle \frac{1}{3}>0{,}33 weil \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33.
  2. Welche Zahl ist größer: \displaystyle \frac{2}{5} oder \displaystyle \frac{3}{7}?

    Wir schreiben die Zahlen mit dem gemeinsamen Nenner \displaystyle 5 \cdot 7 = 35
    \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}
    Also ist \displaystyle \frac{3}{7}>\frac{2}{5} , weil \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}.

Beispiel 12

  1. Gegeben sind die reellen Zahlen \displaystyle x,y,z also \displaystyle x,y,z \in \Bbb{R}, für die gilt \displaystyle x < y.
    Frage: Welche der beiden Zahlen ist grösser \displaystyle x+z oder \displaystyle y+z?

    Antwort:
    Wegen \displaystyle x < y liegt \displaystyle x links von \displaystyle y auf der Zahlengeraden.
    Die Addition von \displaystyle z verschiebt die Zahlen \displaystyle x und \displaystyle y auf der Zahlengeraden auf die gleiche Weise: Für \displaystyle z > 0 werden \displaystyle x und \displaystyle y um \displaystyle |z| nach rechts verschoben, für \displaystyle z < 0 werden \displaystyle x und \displaystyle y um \displaystyle |z| nach links verschoben. Da beide Zahlen gleich weit verschoben werden, ändert sich nicht, dass \displaystyle x links von \displaystyle y liegt und \displaystyle x+z liegt weiterhin links von \displaystyle y+z.
    Also ist \displaystyle y+z die größere Zahl.

  2. Es sind \displaystyle x,y \in \Bbb{R} und \displaystyle x < y. Frage: welche der beiden Zahlen \displaystyle -x , -y ist größter als die andere?

    Antwort:
    Wegen \displaystyle x < y liegt \displaystyle x links von \displaystyle y auf der Zahlengeraden.
    \displaystyle -x ist die Gegenzahl von \displaystyle x: Wenn \displaystyle x > 0 ist, also rechts von 0 liegt, so liegt \displaystyle -x links von der Null und \displaystyle -x < 0. Wenn aber \displaystyle x < 0 ist, also links von 0 liegt, dann liegt \displaystyle -x rechts von der Null und \displaystyle -x > 0. Ebenso ist \displaystyle -y die Gegenzahl von \displaystyle y.
    Wenn wir statt \displaystyle x und \displaystyle y die Gegenzahlen \displaystyle -x und \displaystyle -y betrachten, ist es dasselbe als wenn wir \displaystyle x und \displaystyle y an \displaystyle 0 spiegeln: Wenn \displaystyle x links von \displaystyle y liegt, dann liegt \displaystyle -x rechts von \displaystyle -y und \displaystyle -y < -x.
    Also ist \displaystyle -x die größere der beiden Zahlen.

    Dies ist eine bekannte Rechenregel: Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl (z.B. -1) verändert die Ungleichung ihre Richtung: \displaystyle x < y gilt dann und nur dann, wenn \displaystyle -y < -x gilt.



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Tipps fürs Lernen


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Vorsicht

Sei so genau und exakt, wie es geht, beim Rechnen und beim Eingeben deiner Ergebnisse. So vermeidest du auch Fehler auf Grund von Tippfehlern.


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr über die Grundrechenarten in der Wikipedia

Wer hat die Null entdeckt ? Eine Antwort findest Du im "The MacTutor History of Mathematics archive" (engl.)

Schriftliche Division (engl.)

Wisst Ihr, dass 0,999... = 1 gilt?


Nützliche Websites

Wieviele Farben werden gebraucht um eine Karte einzufärben? Wie oft sollten Karten gemischt werden? Welche Primzahl ist die Größte? Gibt es "Glückszahlen"? Höre dem berühmten Autor und Mathematiker Simon Singh zu, wenn er von Primzahlen, den magischen Zahlen 4 und 7 und dem Konzept der Null erzählt.

Hör Dir die BBC Sendung "5 Numbers" an (engl.)

Hör Dir die BBC Sendung "Another 5 numbers" an (engl.)

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