2. Algebra

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Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem es um das das Rechnen mit Symbolen und Variablen geht.
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Algebra kann vielseitig verwendet werden. Zum Beispiel können geometrische Probleme oft in algebraische Probleme umgewandelt werden, und mit Hilfe von Algebra auch gelöst werden.
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In manchen Fällen kann man Ausdrücke nicht exakt berechnen. Der Ausdruck kann zum Beispiel unbekannte Parameter oder Variablen enthalten. Es kann auch so sein, dass der Ausdruck nicht exakt dargestellt werden kann, so wie zum Beispiel der Umfang eines Kreises (<math>2\pi r</math>) oder die Hypotenuse eines Dreiecks (<math>\sqrt{3}</math> zum Beispiel). Es kann sich auch einfach um eine Konstante handeln, die zum Beispiel <math>\dfrac{1-\ln 2}{3}</math> sein kann.
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| width="220" height="203" |<math>\text{@(a class="image" href="http://smaug.nti.se/temp/KTH/film4.html" target="_blank")@(img src="http://wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1/img_auth.php/0/00/Lars_och_Elin.jpg" alt="Film om algebra")@(/img)@(/a)}</math>
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'''Why do we use letters letters and who were the first to do this? '''
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[[Image:grafisk lösning.gif|thumb|250px|
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Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten kann geometrisch als eine Gerade interpretiert werden. Die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen (''x'',''y''), entspricht dem Punkt, wo die beiden Geraden sich kreuzen.]]
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Deshalb kann es einfacher sein, eine Zahl mit einem Symbol zu repräsentieren, wie zum Beispiel ''a''. Die Lösung einer Gleichung mit ''a'', wird dann aber keine Zahl sein, sondern einen Ausdruck, der ''a'' enthält.
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''Watch the video in which the lecturer Lasse Svensson tells us how algebra
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Eine häufige Anwendung von Algebra ist die Vereinfachung von Ausdrücken. Vereinfachungen können zum Beispiel dann nützlich sein, wenn man eine Funktion differenziert oder wenn man eine Nullstelle sucht.
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developed and answers Elins questions about Part 2 of the course.
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Durch Vereinfachungen vermeidet man oft Rechenfehler. Eine Vereinfachung zu machen bedeutet, dass man eine Gleichung in eine andere Gleichung umwandelt. Welche Gleichung am "einfachsten" ist, ist meist offensichtlich, aber hängt manchmal von der Situation ab.
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Wenn man einen Ausdruck differenziert, ist es oft ein Vorteil, wenn der Ausdruck aus einer Summe von mehreren Ausdrücken besteht. Wenn man aber eine Gleichung lösen möchte, ist es meist ein Vorteil, wenn der Ausdruck aus einem Produkt von mehreren Faktoren besteht. Deshalb ist es wichtig, Algebra gut zu beherrschen, um Ausdrücke transformieren zu können.
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'''Dieser Abschnitt, ebenso wie alle anderen, setzt voraus, dass Du keinen Taschenrechner verwendest.'''
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''In der Universität sind Taschenrechner bei den Prüfungen nicht zugelassen, zumindest nicht in den Grundkursen.''
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Um den Abschnitt Algebra zu bestehen'''
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# Lese zuerst den Theorieabschnitt und die Beispiele durch.
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# Löse danach die Übungen ohne Taschenrechner. Kontrolliere Deine Antworten, indem Du auf "Antwort" klickst. Falls Du Hilfe brauchst, kannst Du auf "Lösung" klicken, um diese mit Deiner Lösung zu vergleichen.
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# Wenn Du mit den Übungen fertig bist, kannst Du die diagnostische Prüfung für das aktuelle Kapitel machen.
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# Falls Du irgendwelche Schwierigkeiten hast, kannst Du im Forum nach ähnlichen Beiträgen suchen. Wenn Du keinen hilfreichen Beitrag findest, kannst Du selbst eine Frage ins Forum stellen, die ein Mentor (oder anderer Student) innerhalb von ein paar Stunden beantworten wird.
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# Wenn Du die diagnostische Prüfung bestanden hast, solltest Du die Schlussprüfung machen. Um die Schlussprüfung zu bestehen, musst Du drei Fragen nacheinander richtig beantworten.
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# Wenn Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung geschafft hast, hast Du das Kapitel bestanden, und kannst mit dem nächsten Kapitel beginnen.
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;P.S. Falls Du mit dem Inhalt eines Kapitels schon sehr vertraut bist, kannst Du direkt die Prüfungen machen. Du musst auch dann alle Fragen richtig beantworten, aber Du hast auch mehrere Versuche, um die Prüfungen zu bestehen.</div>
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Algebra is the branch of mathematics which works with symbolic expressions and variables, and not just calculations with numbers.
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Algebra is needed in many situations. For example algebra can be used to describe mathematical problems and to solve equations. Among other things it can describe geometric facts by means of algebraic statements, and many problems can be resolved with the help of algebraic operations.
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In some cases the value of an expression does not simplify to a numeric value. The reason may be that the expression includes unknown parameters or variables. It may also be that it is important that a number be exactly specified, such as that given circle is to have a circumference of exactly <math>4\pi</math> units, or the hypotenuse of a triangle is to b e<math>\sqrt{3}</math>, or even that the value of a constant is to be <math>\dfrac{1-\ln 2}{3}</math>.
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[[Bild:grafisk lösning.gif|thumb|250px|A linear equation with two unknowns can be interpreted as a straight line in a coordinate system. The common solution (''x'',''y'') to these two equations corresponds to the common point of these lines, that is their point of intersection. ]]
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Then it may be easier just to call the number, for example, ''a''. In return, you must accept that you may not arrive at a numerical value, but instead may finish up with an expression that contains ''a''.
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A common situation where it algebra may be necessary is simplification. It is often very important to simplify an expression, such as before differentiation, or when an equation is to be solved.
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Simplification reduces the risk of careless mistakes and avoids unnecessary work. To simplify means to transform an expression from one form to another. Which of these are considered as &rdquo;simple&rdquo;is sometimes obvious, but it can also depend on what you want to do with the expression.
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When differentiating, it may be advantageous to transform the expression into a sum of a number of terms. On the other hand when we solve an equation, it may be advantageous to reformulate the expression as a product of a number of factors. Therefore, one needs to be proficient in converting expressions into different forms.
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'''It is important to note that the material in this section&mdash; as well as in other parts of the course &mdash; is designed that one does not use calculators.'''
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''When you get to university, you will not be allowed to use calculators during your "exams" at least this is true for the basic courses.''
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<div class="inforuta">
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'''To do well in Algebra'''
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# Start by reading the section's theory and study the examples.
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#Work through the practice questions and try to solve them without using a calculator. Make sure that you have the right answer by clicking on the answer button. If you do not have it, you can click on the solution button to see what went wrong
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#Then go ahead and answer the questions in the basic test of the section.
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# If you get stuck on a point, check to see if someone else has discussed the point in the forum belonging to the section. If not, take up the point yourself. Your teacher (or a student) will respond to your question within a few hours.
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#When you are finished with the exercises and the basic test in a section you should take the final test to get a pass for the section. The requirement here is to answer correctly three questions in a row before you can move on to the next section.
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# When you have answered correctly all questions in both the basic and the final test of this section you will have a pass for this section and can move on to Part 3 of the course.
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;PS. If you feel that you are very familiar with the contents of a section you can test yourself by going directly to the basic and final tests. You must answer all the questions correctly in a test, but you may do the test several times if you do not succeed at the first attempt. It is your final results which appear in the statistics.
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Aktuelle Version


Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem es um das das Rechnen mit Symbolen und Variablen geht.

Algebra kann vielseitig verwendet werden. Zum Beispiel können geometrische Probleme oft in algebraische Probleme umgewandelt werden, und mit Hilfe von Algebra auch gelöst werden.

In manchen Fällen kann man Ausdrücke nicht exakt berechnen. Der Ausdruck kann zum Beispiel unbekannte Parameter oder Variablen enthalten. Es kann auch so sein, dass der Ausdruck nicht exakt dargestellt werden kann, so wie zum Beispiel der Umfang eines Kreises (\displaystyle 2\pi r) oder die Hypotenuse eines Dreiecks (\displaystyle \sqrt{3} zum Beispiel). Es kann sich auch einfach um eine Konstante handeln, die zum Beispiel \displaystyle \dfrac{1-\ln 2}{3} sein kann.

Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten kann geometrisch als eine Gerade interpretiert werden. Die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen (x,y), entspricht dem Punkt, wo die beiden Geraden sich kreuzen.
Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten kann geometrisch als eine Gerade interpretiert werden. Die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen (x,y), entspricht dem Punkt, wo die beiden Geraden sich kreuzen.

Deshalb kann es einfacher sein, eine Zahl mit einem Symbol zu repräsentieren, wie zum Beispiel a. Die Lösung einer Gleichung mit a, wird dann aber keine Zahl sein, sondern einen Ausdruck, der a enthält.

Eine häufige Anwendung von Algebra ist die Vereinfachung von Ausdrücken. Vereinfachungen können zum Beispiel dann nützlich sein, wenn man eine Funktion differenziert oder wenn man eine Nullstelle sucht.

Durch Vereinfachungen vermeidet man oft Rechenfehler. Eine Vereinfachung zu machen bedeutet, dass man eine Gleichung in eine andere Gleichung umwandelt. Welche Gleichung am "einfachsten" ist, ist meist offensichtlich, aber hängt manchmal von der Situation ab.

Wenn man einen Ausdruck differenziert, ist es oft ein Vorteil, wenn der Ausdruck aus einer Summe von mehreren Ausdrücken besteht. Wenn man aber eine Gleichung lösen möchte, ist es meist ein Vorteil, wenn der Ausdruck aus einem Produkt von mehreren Faktoren besteht. Deshalb ist es wichtig, Algebra gut zu beherrschen, um Ausdrücke transformieren zu können.

Dieser Abschnitt, ebenso wie alle anderen, setzt voraus, dass Du keinen Taschenrechner verwendest.

In der Universität sind Taschenrechner bei den Prüfungen nicht zugelassen, zumindest nicht in den Grundkursen.


Um den Abschnitt Algebra zu bestehen

  1. Lese zuerst den Theorieabschnitt und die Beispiele durch.
  2. Löse danach die Übungen ohne Taschenrechner. Kontrolliere Deine Antworten, indem Du auf "Antwort" klickst. Falls Du Hilfe brauchst, kannst Du auf "Lösung" klicken, um diese mit Deiner Lösung zu vergleichen.
  3. Wenn Du mit den Übungen fertig bist, kannst Du die diagnostische Prüfung für das aktuelle Kapitel machen.
  4. Falls Du irgendwelche Schwierigkeiten hast, kannst Du im Forum nach ähnlichen Beiträgen suchen. Wenn Du keinen hilfreichen Beitrag findest, kannst Du selbst eine Frage ins Forum stellen, die ein Mentor (oder anderer Student) innerhalb von ein paar Stunden beantworten wird.
  5. Wenn Du die diagnostische Prüfung bestanden hast, solltest Du die Schlussprüfung machen. Um die Schlussprüfung zu bestehen, musst Du drei Fragen nacheinander richtig beantworten.
  6. Wenn Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung geschafft hast, hast Du das Kapitel bestanden, und kannst mit dem nächsten Kapitel beginnen.
   P.S. Falls Du mit dem Inhalt eines Kapitels schon sehr vertraut bist, kannst Du direkt die Prüfungen machen. Du musst auch dann alle Fragen richtig beantworten, aber Du hast auch mehrere Versuche, um die Prüfungen zu bestehen.
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