3.2 Wurzelgleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Vald flik|[[3.2 Rotekvationer|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[3.2 Wurzelgleichungen|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[3.2 Övningar|Övningar]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[3.2 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt: '''
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*Rotekvationer av typen <math>\sqrt{ax+b}= cx +d </math>
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* Gleichungen auf der Form <math>\sqrt{ax+b}= cx +d </math>
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*Falska rötter
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* Scheinlösungen
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Lärandemål:'''
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'''Lernziele'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
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*Lösa enkla rotekvationer med kvadrering.
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* Einfache Wurzelgleichungen durch Quadrieren lösen.
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*Hantera falska rötter och veta när de uppstår.
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* Scheinlösungen erkennen.
}}
}}
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== Rotekvationer ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.
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== Gleichungen mit Wurzeln ==
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{{Fristående formel||<math>\sqrt{x} + 3x = 2\,,</math>}}
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Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel:
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{{Fristående formel||<math>\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,</math>}}
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{{Fristående formel||<math>\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}</math>}}
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För att lösa rotekvationer vill man bli av med rottecknet. Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet. Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner och löser sedan den nya, kvadrerade, ekvationen. När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Oavsett om man hade något positivt eller negativt så har man alltid något positivt efter en kvadrering. Därför måste man pröva de lösningar som man får fram. Man behöver verifiera att de inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också till den ursprungliga ekvationen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{x} + 3x = 2\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}</math>}}
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Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall, wo wir Quadratwurzeln haben) und löst die quadratische Gleichung, die daraus entsteht. Bei diesem Schritt muss man aber bedenken, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht unbedingt auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach dem Quadrieren positiv werden, entstehen sogenannte Scheinlösungen, welche die quadrierte Gleichung lösen, nicht aber die ursprüngliche Gleichung.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
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Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation
+
Wir betrachten folgende einfache Gleichung:
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{{Fristående formel||<math>x = 2\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = 2\mbox{.}</math>}}
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Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi
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Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir
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{{Fristående formel||<math>x^2 = 4\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 = 4\mbox{.}</math>}}
-
Denna nya ekvation har två lösningar <math>x = 2</math> eller <math>x = -2</math>. Lösningen <math>x = 2</math> uppfyller den ursprungliga ekvationen medan <math>x = -2</math> är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.
+
Die neue Gleichung hat die Lösungen <math>x = 2</math> und <math>x = -2</math>. Die Lösung <math>x = 2</math> erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung <math> x = -2</math> die ursprüngliche Gleichung nicht löst. <math> x = -2</math> ist also eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
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Lös ekvationen <math>\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x</math>.
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Löse die Gleichung <math>\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x</math>.
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Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1) = (1 - x)^2</math>}}
 +
Wir multiplizieren die rechte Seite aus (binomischen Formel)
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}</math>}}
 +
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir als
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}</math>}}
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Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2, men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen som den är får vi
+
schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind <math>x = 3 \pm 2</math>, also <math>x = 1</math> und <math>x = 5</math>.
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{{Fristående formel||<math>4(x - 1) = (1 - x)^2</math>}}
+
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och utvecklar vi kvadraten fås
+
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{{Fristående formel||<math>4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas
+
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{{Fristående formel||<math>x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}</math>}}
+
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Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir <math>x = 3 \pm 2</math>, dvs. <math>x = 1</math> eller <math>x = 5</math>.
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Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko, dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen, ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
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* <math>x = 1</math> gibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0</math> und <math>\mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0</math>. Also <math>\mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite}</math> und die Gleichung ist erfüllt.
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* <math>x = 5</math> gibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4</math> und <math>\mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4</math>. Also <math>\mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite}</math> und die Gleichung ist nicht erfüllt.
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Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om <math>x=1</math> och <math>x=5</math> också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen:
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Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung <math>x = 1</math>.
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* <math>x = 1</math> medför att <math>\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0</math> och <math>\mbox{HL} = 1 - 1 = 0</math>. Alltså är <math>\mbox{VL} = \mbox{HL}</math> och ekvationen är uppfylld!
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<center>{{:3.2 - Bild - Die Kurven y = 2√(x - 1) und y = 1 - x}}</center>
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* <math>x = 5</math> medför att <math>\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4</math> och <math>\mbox{HL} = 1 - 5 = -4</math>. Alltså är <math>\mbox{VL} \ne \mbox{HL}</math> och ekvationen är ''inte'' uppfylld!
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Ekvationen har därmed bara en lösning <math>x = 1</math>.
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<center>{{:3.2 - Figur - Kurvorna y = 2√(x - 1) och y = 1 - x}}</center>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.2 Übungen|Übungen]]''' .
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[[3.2 Övningar|Övningar]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Råd för inläsning'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Grund- och slutprov'''
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'''Bedenken Sie folgendes: '''
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
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Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht unbedingt Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
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'''Tänk på att:'''
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'''Du solltest immer testen, ob Deine Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen'''
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När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen, s. k. '''falska rötter'''. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Därför måste man verifiera att de lösningar man får fram, inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också är lösningar till den ursprungliga ekvationen.
 
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'''Du ska alltid pröva lösningen i rotekvationer.'''
+
'''Literaturhinweise'''
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Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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'''Lästips'''
 
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för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring
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[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - ein englischer Text im Web ]
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[http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier]
 
 +
'''Nützliche Websites'''
-
'''Länktips'''
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[http://www.webmath.com/simpsqrt.html Was ist die Wurzel aus -? Webmath.com hilft Quadratwurzeln zu vereinfachen (eng.)]
-
[http://www.webmath.com/simpsqrt.html Vad är roten ur -- ? Webmath.com hjälper dig att förenkla rotuttryck]
 
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Gleichungen auf der Form \displaystyle \sqrt{ax+b}= cx +d
  • Scheinlösungen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Einfache Wurzelgleichungen durch Quadrieren lösen.
  • Scheinlösungen erkennen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

Gleichungen mit Wurzeln

Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel:

\displaystyle \sqrt{x} + 3x = 2\,,
\displaystyle \sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,
\displaystyle \sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}

Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall, wo wir Quadratwurzeln haben) und löst die quadratische Gleichung, die daraus entsteht. Bei diesem Schritt muss man aber bedenken, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht unbedingt auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach dem Quadrieren positiv werden, entstehen sogenannte Scheinlösungen, welche die quadrierte Gleichung lösen, nicht aber die ursprüngliche Gleichung.

Beispiel 1

Wir betrachten folgende einfache Gleichung:

\displaystyle x = 2\mbox{.}

Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir

\displaystyle x^2 = 4\mbox{.}

Die neue Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2. Die Lösung \displaystyle x = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung \displaystyle x = -2 die ursprüngliche Gleichung nicht löst. \displaystyle x = -2 ist also eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x.

Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten und erhalten

\displaystyle 4(x - 1) = (1 - x)^2

Wir multiplizieren die rechte Seite aus (binomischen Formel)

\displaystyle 4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir als

\displaystyle x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}

schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind \displaystyle x = 3 \pm 2, also \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 5.

Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko, dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen, ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

  • \displaystyle x = 1 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist erfüllt.
  • \displaystyle x = 5 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist nicht erfüllt.

Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung \displaystyle x = 1.

[Image]



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung


Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht unbedingt Lösungen der ursprünglichen Gleichung.


Du solltest immer testen, ob Deine Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Understanding Algebra - ein englischer Text im Web


Nützliche Websites

Was ist die Wurzel aus -? Webmath.com hilft Quadratwurzeln zu vereinfachen (eng.)


Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.2_Wurzelgleichungen“