2.3 Quadratische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
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{{Vald flik|[[2.3 Andragradsuttryck|Teori]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[2.3 Quadratische Gleichungen|Theorie]]}}
-
{{Ej vald flik|[[2.3 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Nicht gewählter Tab|[[2.3 Übungen|Übungen]]}}
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
{{Info|
{{Info|
-
'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
-
*Kvadratkomplettering
+
*Quadratische Ergänzung
-
*Andragradsekvationer
+
*Quadratische Funktionen
-
*Faktorisering
+
* Faktorisierung
-
*Parabler
+
* Parabeln
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Kvadratkomplettera andragradsuttryck.
+
* Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen.
-
*Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering (ej färdig formel) och veta hur man kontrollerar svaret.
+
* Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen und die Lösungen kontrollieren.
-
*Faktorisera andragradsuttryck (när det är möjligt).
+
*Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
-
*Direkt lösa faktoriserade eller nästan faktoriserade andragradsekvationer.
+
* Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
-
*Bestämma det minsta/största värde ett andragradsuttryck antar.
+
* Den kleinsten und größten Wert eines quadratischen Ausdruckes finden.
-
*Skissera parabler genom kvadratkomplettering.
+
* Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.
}}
}}
-
== Andragradsekvationer ==
 
-
En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas som
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
{{Fristående formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
+
-
där <math>x</math> är den obekanta och <math>p</math> och <math>q</math> är konstanter.
+
 +
== A - Quadratische Gleichungen ==
-
Enklare typer av andragradsekvationer kan vi lösa direkt genom rotutdragning.
+
Eine quadratische Gleichung kann in der Form
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
 +
geschrieben werden, wobei <math>x</math> unbekannt ist, und <math>p</math> und <math>q</math> Konstanten sind.
 +
 
 +
Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man die Wurzeln zieht.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Ekvationen <math>x^2=a</math> där <math>a</math> är ett positivt tal har två lösningar (rötter) <math>x=\sqrt{a}</math> och <math>x=-\sqrt{a}</math>.
+
Die einfache quadratische Gleichung <math>x^2=a</math> mit <math>a > 0</math>, hat zwei Lösungen, nämlich <math>x=\sqrt{a} </math> und <math>x=-\sqrt{a}</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>x^2 = 4 \quad</math> har rötterna <math>x=\sqrt{4} = 2</math> och <math>x=-\sqrt{4}= -2</math>.</li>
+
<li><math>x^2 = 4 \quad</math> hat die Lösungen <math>x=\sqrt{4} = 2</math> und <math>x=-\sqrt{4}= -2</math>.</li>
-
<li><math>2x^2=18 \quad</math> skrivs om till <math>x^2=9</math> och har rötterna <math>x=\sqrt9 = 3</math> och <math>x=-\sqrt9 = -3</math>.</li>
+
<li><math>2x^2=18 \quad</math> kann man als <math>x^2=9</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt9 = 3</math> und <math>x=-\sqrt9 = -3</math>.</li>
-
<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kan skrivas som <math>x^2=5</math> och har rötterna <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236</math> och <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>
+
<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kann man als <math>x^2=5</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236 </math> und <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>
-
<li><math>9x^2+25=0\quad</math> saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur <math>x</math> väljs (kvadraten <math>x^2</math> är alltid större än eller lika med noll).
+
<li><math>9x^2+25=0\quad</math> hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn <math>x^2 &ge; 0</math>).<br>
 +
(Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Lös ekvationen <math>\ (x-1)^2 = 16</math>. <br><br>
+
<li>Löse die einfache quadratische Gleichung <math>\ (x-1)^2 = 16</math>. <br><br>
-
Genom att betrakta <math>x-1</math> som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
+
Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 1a) und erhalten
-
*<math>x-1 =\sqrt{16} = 4\,</math> vilket ger att <math>x=1+4=5</math>,
+
*<math>x-1 =\sqrt{16} = 4\,</math> also <math>x=1+4=5</math>,
-
*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> vilket ger att <math>x=1-4=-3</math>. </li>
+
*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> also <math>x=1-4=-3</math>. </li>
-
<li>Lös ekvationen <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
-
Flytta över termen <math>8</math> till högerledet och dela båda led med <math>2</math>,
+
Wir addieren <math>8</math> auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch <math>2</math>,
-
{{Fristående formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
-
Rotutdragning ger att:
+
Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese lösen wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die Lösungen sind
-
*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>
+
*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>
-
*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>
+
*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
För att lösa allmänna andragradsekvationer använder vi en teknik som kallas kvadratkomplettering.
+
Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die ''p''-''q''-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die ''p''-''q''-Formel. Die ''p''-''q''-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.
-
Om vi betraktar kvadreringsregeln
+
Die binomische Formel lautet
-
{{Fristående formel||<math>x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\,.</math>}}
-
och subtraherar <math>a^2</math> från båda led så får vi
+
Subtrahieren wir <math>a^2</math> von beiden Seiten, bekommen wir
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Kvadratkomplettering:'''
+
'''Quadratische Ergänzung:'''
-
{{Fristående formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
-
</div>
+
</div>
 +
und <math> (a+x)^2 = a^2 </math> ist eine einfache quadratische Gleichung, die wir durch Wurzelziehen lösen können.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Lös ekvationen <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
-
De två termerna <math>x^2+2x</math> kvadratkompletteras (använd <math>a=1</math> i formeln)
+
Wir benutzen die quadratische Ergänzung: <math>x^2+2x</math> (hier ist also <math>a=1</math>)
-
{{Fristående formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
-
där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som
+
wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie
-
{{Fristående formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
-
vilken vi löser med rotutdragning
+
geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Lösungen
-
*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math> och därmed <math>x=-1+3=2</math>,
+
*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math>, also <math>x=-1+3=2</math>,
-
*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math> och därmed <math>x=-1-3=-4</math>.</li>
+
*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math>, also <math>x=-1-3=-4</math>.</li>
-
<li>Lös ekvationen <math>\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0</math>. <br><br>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0</math>. <br><br>
-
Dividera båda led med 2
+
Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2
-
{{Fristående formel||<math>x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}</math>}}
-
Vänsterledet kvadratkompletteras (använd <math>a=-\tfrac{1}{2}</math>)
+
Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit <math>a=-\tfrac{1}{2}</math>)
-
{{Fristående formel||<math>\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.</math>}}
-
och detta ger oss ekvationen
+
Dies ergibt die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}
-
Rotutdragning ger att
+
mit den Lösungen
-
*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math> dvs. <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,
+
*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,
-
*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math> dvs. <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>
+
*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="tips">
<div class="tips">
-
'''Tips:'''
+
'''Hinweis: '''
-
Tänk på att man alltid kan pröva lösningar till en ekvation genom att sätta in värdet och se om ekvationen blir uppfylld. Man gör detta för att upptäcka eventuella slarvfel. För exempel 3a ovan har vi två fall att pröva. Vi kallar vänster- och högerleden för VL respektive HL:
+
Für jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:
-
* <math>x = 2</math> medför att <math>\mbox{VL} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{HL}</math>.
+
* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
-
* <math>x = -4</math> medför att <math>\mbox{VL} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{HL}</math>.
+
* <math>x = -4</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
-
I båda fallen kommer vi fram till VL = HL. Ekvationen är alltså uppfylld i båda fallen.
+
In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.
</div>
</div>
-
Med kvadratkomplettering går det att visa att den allmänna andragradsekvationen
 
-
{{Fristående formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
 
-
har lösningarna
 
-
{{Fristående formel||<math>x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}</math>}}
 
-
förutsatt att uttrycket under rottecknet inte är negativt.
 
-
Ibland kan man faktorisera ekvationer och direkt se vilka lösningarna är.
+
<div class="regel">
 +
'''Herleitung der ''p''-''q''-Formel aus der quadratischen Ergänzung'''
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
 +
hat die (rellen) Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\,,</math>}}
 +
solange der Ausdruck in der Wurzel nicht negativ ist.
 +
 
 +
Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit <math> a = \frac{p}{2} </math>
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q </math>}}
 +
 
 +
 
 +
Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung <math> x^2 + px +q = 0 </math> die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung <math> \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q </math>.
 +
 
 +
Die einfache quadratische Gleichung lösen wir durch das Ziehen der Wurzel.
 +
 
 +
Wir erhalten die beiden Lösungen
 +
<math> x + \frac{p}{2} = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math> und
 +
<math> x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math>
 +
 
 +
Und damit hat man die ''p''-''q''-Formel.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Lös ekvationen <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
-
I vänsterledet kan vi bryta ut ett <math>x</math>
+
Wir können die linke Seite faktorisieren, weil der Faktor <math>x</math> in allen Termen auftritt. Nach Anwendung des Distributivgesetzes
:<math>x(x-4)=0</math>.
:<math>x(x-4)=0</math>.
-
Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
+
Die linke Seite der Gleichung ist nur dann null, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
-
*<math>x =0,\quad</math> eller
+
*<math>x =0,\quad</math> oder
-
*<math>x-4=0\quad</math> dvs. <math>\quad x=4</math>.</li>
+
*<math>x-4=0\quad</math>. Dies ergibt die Lösungen <math>\quad x=4</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
== B - Quadratische Funktionen ==
-
== Parabler ==
+
Die Funktionen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}</math>}}
 +
sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y=ax^2+bx+c\,,</math>}}
 +
wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind und <math>a\ne0</math>.
-
Funktionerna
+
Andere Schreibweisen für diese Funktionen sind <math> f(x) = ax^2 + bx +c </math> oder <math> x \mapsto ax^2 + bx +c </math>.
-
{{Fristående formel||<math>\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}</math>}}
+
-
är exempel på andragradsfunktioner. Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som
+
-
{{Fristående formel||<math>y=ax^2+bx+c</math>}}
+
-
där <math>a</math>, <math>b</math> och <math>c</math> är konstanter och där <math>a\ne0</math>.
+
-
Grafen till en andragradsfunktion kallas för en parabel och figurerna visar utseendet för två typexempel <math>y=x^2</math> och <math>y=-x^2</math>.
+
Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>.
-
<center>{{:2.3 - Figur - Parablerna y = x² och y = -x²}}</center>
+
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center>
-
<center><small>Figuren till vänster visar parabeln <math>y=x^2</math> och figuren till höger parabeln <math>y=-x^2</math>.</small></center>
+
<center><small>Die linke Zeichnung zeigt die Parabel <math>y=x^2</math> und die rechte Zeichnung zeigt die Parabel <math>y=-x^2</math>.</small></center>
-
Eftersom uttrycket <math>x^2</math> är som minst när <math>x=0</math> har parabeln <math>y=x^2</math> ett minimum när <math>x=0</math> och parabeln <math>y=-x^2</math> ett maximum för <math>x=0</math>.
+
Weil der <math>x^2</math>-Term minimal ist, wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> ein Minimum in <math>x=0</math> und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat ein Maximum in <math>x=0</math>.
-
Notera också att parablerna ovan är symmetriska kring <math>y</math>-axeln eftersom värdet på <math>x^2</math> inte beror på vilket tecken <math>x</math> har.
+
Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch bezüglich der <math>y</math>-Achse, weil der Wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
{| width="100%"
{| width="100%"
||<ol type="a">
||<ol type="a">
-
<li>Skissera parabeln <math>\ y=x^2-2</math>. <br><br>
+
<li>Zeichne die Parabel <math>\ y=x^2-2</math>. <br><br>
-
Jämfört med parabeln <math>y=x^2</math> har punkter på parabeln (<math>y=x^2-2</math>) <math>y</math>-värden som är två enheter mindre, dvs. parabeln är förskjuten två enheter neråt i <math>y</math>-led.</li>
+
Im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math> hat diese Parabel(<math>y=x^2-2</math>) einen <math>y</math>-Wert, der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel <math>y=x^2</math> einfach zwei Einheiten herunter.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|{{:2.3 - Figur - Parabeln y = x² - 2}}
+
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 2}}
|}
|}
{| width="100%"
{| width="100%"
||<ol type="a" start=2>
||<ol type="a" start=2>
-
<li>Skissera parabeln <math>\ y=(x-2)^2</math>. <br><br>
+
<li> Zeichne die Parabel <math>\ y=(x-2)^2</math>. <br><br>
-
På parabeln <math>y=(x-2)^2</math> behöver vi välja <math>x</math>-värden två enheter större jämfört med parabeln <math>y=x^2</math> för att få motsvarande <math>y</math>-värden. Alltså är parabeln <math>y=(x-2)^2</math> förskjuten två enheter åt höger jämfört med <math>y=x^2</math>.</li>
+
Für die Parabel <math>y=(x-2)^2</math> müssen wir den <math>x</math>-Wert um zwei Einheiten größer wählen als für die Parabel <math>y=x^2</math>, um denselben <math>y</math>-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel <math>y=(x-2)^2</math>, die Parabel <math>y=x^2</math> zwei Einheiten nach rechts verschoben.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|{{:2.3 - Figur - Parabeln y = (x - 2)²}}
+
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = (x - 2)²}}
|}
|}
{| width="100%"
{| width="100%"
||<ol type="a" start=3>
||<ol type="a" start=3>
-
<li>Skissera parabeln <math>\ y=2x^2</math>. <br><br>
+
<li> Zeichne die Parabel <math>\ y=2x^2</math>. <br><br>
-
Varje punkt på parabeln <math>y=2x^2</math> har dubbelt så stort <math>y</math>-värde än vad motsvarande punkt med samma <math>x</math>-värde har på parabeln <math>y=x^2</math>. Parabeln <math>y=2x^2</math> är expanderad med faktorn <math>2</math> i <math>y</math>-led jämfört med <math>y=x^2</math>.
+
Jeder Punkt auf der Parabel <math>y=2x^2</math> hat für denselben <math>x</math>-Wert einen zwei Mal so großen <math>y</math>-Wert als die Parabel <math>y=x^2</math>. Also müssen wir die Parabel <math>y=x^2</math> um einen Faktor <math>2</math> in der <math>y</math>-Richtung vergrößern, um die Parabel <math>y=2x^2</math> zu bekommen.
</ol>
</ol>
-
|align="right"|{{:2.3 - Figur - Parabeln y = 2x²}}
+
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = 2x²}}
|}
|}
</div>
</div>
-
Med kvadratkomplettering kan vi behandla alla typer av parabler.
+
Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man die quadratische Ergänzung verwendet.
-
 
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
'''Beispiel 6'''
{| width="100%"
{| width="100%"
-
||Skissera parabeln <math>\ y=x^2+2x+2</math>.
+
||Zeichne die Parabel <math>\ y=x^2+2x+2</math>.
-
Om högerledet kvadratkompletteras
+
Wenn wir die rechte Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir
-
{{Fristående formel||<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}
-
så ser vi från det resulterande uttrycket <math>y= (x+1)^2+1</math> att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i <math>x</math>-led jämfört med <math>y=x^2</math> (eftersom det står <math>(x+1)^2</math> istället för <math>x^2</math>) och en enhet uppåt i <math>y</math>-led.
+
und sehen, dass die Parabel <math>y= (x+1)^2+1</math> um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math>.
-
||{{:2.3 - Figur - Parabeln y = x² + 2x + 2}}
+
||{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 2x + 2}}
|}
|}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Bestäm var parabeln <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> skär <math>x</math>-axeln.
+
Bestimme den Schnittpunkt der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> mit der <math>x</math>-Achse.
-
En punkt ligger på <math>x</math>-axeln om dess <math>y</math>-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har <math>y=0</math> har en <math>x</math>-koordinat som uppfyller ekvationen
+
Alle Punkte auf der <math>x</math>-Achse haben den <math>y</math>-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der <math>x</math>-Achse liegen, haben also die <math>y</math>-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}
-
Vänsterledet kvadratkompletteras
+
Die quadratische Ergänzung ergibt
-
{{Fristående formel||<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}
-
och detta ger ekvationen
+
und schließlich
-
{{Fristående formel||<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
-
Efter rotutdragning får vi lösningarna
+
Wir ziehen die Wurzel und erhalten die Lösungen
-
*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> dvs. <math>\quad x=2+1=3</math>,
+
*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> also <math>\quad x=2+1=3</math>,
-
*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> dvs. <math>\quad x=2-1=1</math>.
+
*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> also <math>\quad x=2-1=1</math>.
-
Parabeln skär <math>x</math>-axeln i punkterna <math>(1,0)</math> och <math>(3,0)</math>.
+
Die Schnittpunkte der <math>x</math>-Achse mit der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> sind <math>(1,0)</math> und <math>(3,0)</math>.
-
<center>{{:2.3 - Figur - Parabeln y = x² - 4x + 3}}</center>
+
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 4x + 3}}</center>
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
-
Bestäm det minsta värde som uttrycket <math>\,x^2+8x+19\,</math> antar.
+
Bestimme den kleinsten Wert des Ausdruckes <math>\,x^2+8x+19\,</math>.
-
Vi kvadratkompletterar
+
Wir verwenden die quadratische Ergänzung
-
{{Fristående formel||<math>x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3</math>}}
-
och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten <math>(x+4)^2</math> alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad <math>x</math> är.
+
und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate <math>(x+4)^2</math> immer größer oder gleich 0 ist.
-
I figuren nedan ser vi att hela parabeln <math>y=x^2+8x+19</math> ligger ovanför <math>x</math>-axeln och har ett minimumvärde 3 när <math>x=-4</math>.
+
In der Zeichnung unten sehen wir, dass die Parabel <math>y=x^2+8x+19</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn <math>x=-4</math>.
-
<center>{{:2.3 - Figur - Parabeln y = x² + 8x + 19}}</center>
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<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[2.3 Övningar|Övningar]]
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Tänk på att:'''
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'''Bedenken Sie folgendes: '''
-
Lägg ner mycket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet. När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, yta, volym och geometri vara mycket större.
+
Nimm dir viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall sonst in der Mathematik vor.
-
'''Lästips'''
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'''Literaturhinweise'''
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Für die, die sich weiter mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring
 
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[http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation Läs mer om andragradsekvationer på engelska Wikipedia]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung Mehr über Quadratische Gleichungen in der Wikipedia ]
-
[http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html Läs mer om andragradsekvationer i MathWorld]
+
[http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html Mehr über quadratische Gleichungen auf mathworld (engl.)]
-
[http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html 101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin]
+
[http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html 101 uses of a quadratic equation - von Chris Budd und Chris Sangwin (engl.)]
-
'''Länktips'''
 
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Quadratische Ergänzung
  • Quadratische Funktionen
  • Faktorisierung
  • Parabeln

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen.
  • Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen und die Lösungen kontrollieren.
  • Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
  • Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
  • Den kleinsten und größten Wert eines quadratischen Ausdruckes finden.
  • Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann in der Form

\displaystyle x^2+px+q=0

geschrieben werden, wobei \displaystyle x unbekannt ist, und \displaystyle p und \displaystyle q Konstanten sind.

Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man die Wurzeln zieht.

Die einfache quadratische Gleichung \displaystyle x^2=a mit \displaystyle a > 0, hat zwei Lösungen, nämlich \displaystyle x=\sqrt{a} und \displaystyle x=-\sqrt{a}.

Beispiel 1

  1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Lösungen \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
  2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann man als \displaystyle x^2=9 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
  3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann man als \displaystyle x^2=5 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
  4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn \displaystyle x^2 ≥ 0).
    (Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)

Beispiel 2

  1. Löse die einfache quadratische Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.

    Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 1a) und erhalten
    • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, also \displaystyle x=1+4=5,
    • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, also \displaystyle x=1-4=-3.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.

    Wir addieren \displaystyle 8 auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch \displaystyle 2,
    \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

    Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese lösen wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die Lösungen sind

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
    • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die p-q-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die p-q-Formel. Die p-q-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.

Die binomische Formel lautet

\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\,.

Subtrahieren wir \displaystyle a^2 von beiden Seiten, bekommen wir

Quadratische Ergänzung:

\displaystyle x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2

und \displaystyle (a+x)^2 = a^2 ist eine einfache quadratische Gleichung, die wir durch Wurzelziehen lösen können.

Beispiel 3

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.

    Wir benutzen die quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)
    \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

    wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

    \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

    geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Lösungen

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
    • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.

    Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2
    \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

    Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

    \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.

    Dies ergibt die Gleichung

    \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

    mit den Lösungen

    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Hinweis:

Für jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:

  • \displaystyle x = 2 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.
  • \displaystyle x = -4 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.

In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.


Herleitung der p-q-Formel aus der quadratischen Ergänzung


Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten.

\displaystyle x^2+px+q=0

hat die (rellen) Lösungen

\displaystyle x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\,,

solange der Ausdruck in der Wurzel nicht negativ ist.

Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit \displaystyle a = \frac{p}{2}

\displaystyle x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q


Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung \displaystyle x^2 + px +q = 0 die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung \displaystyle \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q .

Die einfache quadratische Gleichung lösen wir durch das Ziehen der Wurzel.

Wir erhalten die beiden Lösungen \displaystyle x + \frac{p}{2} = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} und \displaystyle x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q}

Und damit hat man die p-q-Formel.


In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.

Beispiel 4

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-4x=0.

    Wir können die linke Seite faktorisieren, weil der Faktor \displaystyle x in allen Termen auftritt. Nach Anwendung des Distributivgesetzes
    \displaystyle x(x-4)=0.
    Die linke Seite der Gleichung ist nur dann null, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
    • \displaystyle x =0,\quad oder
    • \displaystyle x-4=0\quad. Dies ergibt die Lösungen \displaystyle \quad x=4.

B - Quadratische Funktionen

Die Funktionen

\displaystyle \eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}

sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist

\displaystyle y=ax^2+bx+c\,,

wobei \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind und \displaystyle a\ne0.

Andere Schreibweisen für diese Funktionen sind \displaystyle f(x) = ax^2 + bx +c oder \displaystyle x \mapsto ax^2 + bx +c .

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von \displaystyle y=x^2 und \displaystyle y=-x^2.

[Image]

Die linke Zeichnung zeigt die Parabel \displaystyle y=x^2 und die rechte Zeichnung zeigt die Parabel \displaystyle y=-x^2.


Weil der \displaystyle x^2-Term minimal ist, wenn \displaystyle x=0, hat die Parabel \displaystyle y=x^2 ein Minimum in \displaystyle x=0 und die Parabel \displaystyle y=-x^2 hat ein Maximum in \displaystyle x=0.

Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch bezüglich der \displaystyle y-Achse, weil der Wert von \displaystyle x^2 derselbe ist, egal ob \displaystyle x positiv oder negativ ist.

Beispiel 5

  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=x^2-2.

    Im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2 hat diese Parabel(\displaystyle y=x^2-2) einen \displaystyle y-Wert, der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel \displaystyle y=x^2 einfach zwei Einheiten herunter.

[Image]

  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=(x-2)^2.

    Für die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2 müssen wir den \displaystyle x-Wert um zwei Einheiten größer wählen als für die Parabel \displaystyle y=x^2, um denselben \displaystyle y-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2, die Parabel \displaystyle y=x^2 zwei Einheiten nach rechts verschoben.

[Image]

  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=2x^2.

    Jeder Punkt auf der Parabel \displaystyle y=2x^2 hat für denselben \displaystyle x-Wert einen zwei Mal so großen \displaystyle y-Wert als die Parabel \displaystyle y=x^2. Also müssen wir die Parabel \displaystyle y=x^2 um einen Faktor \displaystyle 2 in der \displaystyle y-Richtung vergrößern, um die Parabel \displaystyle y=2x^2 zu bekommen.

[Image]

Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man die quadratische Ergänzung verwendet.

Beispiel 6

Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=x^2+2x+2.


Wenn wir die rechte Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir

\displaystyle x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1

und sehen, dass die Parabel \displaystyle y= (x+1)^2+1 um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2.

[Image]

Beispiel 7

Bestimme den Schnittpunkt der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, mit der \displaystyle x-Achse.


Alle Punkte auf der \displaystyle x-Achse haben den \displaystyle y-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der \displaystyle x-Achse liegen, haben also die \displaystyle y-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung

\displaystyle x^2-4x+3=0\mbox{.}

Die quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1

und schließlich

\displaystyle (x-2)^2= 1 \; \mbox{.}

Wir ziehen die Wurzel und erhalten die Lösungen

  • \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad also \displaystyle \quad x=2+1=3,
  • \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad also \displaystyle \quad x=2-1=1.

Die Schnittpunkte der \displaystyle x-Achse mit der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, sind \displaystyle (1,0) und \displaystyle (3,0).

[Image]

Beispiel 8

Bestimme den kleinsten Wert des Ausdruckes \displaystyle \,x^2+8x+19\,.


Wir verwenden die quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3

und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate \displaystyle (x+4)^2 immer größer oder gleich 0 ist.

In der Zeichnung unten sehen wir, dass die Parabel \displaystyle y=x^2+8x+19 oberhalb der \displaystyle x-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn \displaystyle x=-4.

[Image]



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung


Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Nimm dir viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall sonst in der Mathematik vor.


Literaturhinweise Für die, die sich weiter mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über Quadratische Gleichungen in der Wikipedia

Mehr über quadratische Gleichungen auf mathworld (engl.)

101 uses of a quadratic equation - von Chris Budd und Chris Sangwin (engl.)


Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.3_Quadratische_Gleichungen“