Lösung 1.1:7c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Hier sieht man, dass 10''x'' und 10000''x'' dieselbe Dezimalbruchentwicklung haben, also ist
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Aktuelle Version

Man sieht dass die Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung von 001 hat.

\displaystyle 0\textrm{.}2\ \underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots

und also ist sie rational.

Indem wir die Zahl mit 10 multiplizieren, können wir das Komma Schritt für Schritt nach rechts verschieben

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{}=0\,\textrm{.}\,2\ 001\ 001\ 001\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{}=2\,\textrm{.}\,\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{}=20\,\textrm{.}\,01\ 001\ 001\ 1\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{}=200\,\textrm{.}\,1\ 001\ 001\ 1\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{}=2001\,\textrm{.}\,\underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots

Hier sieht man, dass 10x und 10000x dieselbe Dezimalbruchentwicklung haben, also ist

\displaystyle 10000x-10x = 2001\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots - 2\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots
\displaystyle \phantom{10000x-10x}{} = 1999\,\mbox{.}\quad(die Nachkommastellen verschwinden)

\displaystyle 10000x-10x = 9990x, daher ist

\displaystyle 9990x = 1999\quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{1999}{9990}\,\mbox{.}
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