Lösung 4.1:10
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir | Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>12x + 108y = 1728</math>|(3")}} | {{Abgesetzte Formel||<math>12x + 108y = 1728</math>|(3")}} | ||
| - | Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3 | + | Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist. |
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Also hat die Gleichung die Lösungen | Also hat die Gleichung die Lösungen | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}} |
Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen). | Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen). | ||
Aktuelle Version
Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.
Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück y und z, wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen y und z (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/d/0/9/d09ae5e092c5a3f30cb1f50623646140.png)
Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir
| \displaystyle y+z=54\,\textrm{.} | (1) |
Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir
| \displaystyle y^2 = x^2 + 12^2\,, | (2) |
| \displaystyle z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} | (3) |
Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst z eliminieren, und eine Gleichung mit nur x und y erhalten. Danach eliminieren wir y, und erhalten so eine Gleichung mit nur x.
Von (1) erhalten wir \displaystyle z = 54-y, und dies in (3) ergibt
| \displaystyle (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} | (3') |
Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten x und y,
| \displaystyle \left\{ \begin{align}
& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} \end{align} \right. | \displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align} |
Wir erweitern die Quadraten in (3'),
| \displaystyle 54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,, |
und vereinfachen
| \displaystyle 2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.} |
Wir verwenden (2) und ersetzen \displaystyle y^2 mit \displaystyle x^2+12 in dieser Gleichung
| \displaystyle 2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,. |
So eliminieren wir allex²-Terme:
| \displaystyle 2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,. |
Durch weitere Vereinfachung erhalten wir
| \displaystyle 12x + 108y = 1728 | (3") |
Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.
| \displaystyle \left\{ \begin{align}
& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & 12x+108y=1728\,\textrm{.} \end{align} \right. | \displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align} |
Wir lösen y in der Gleichung (3"),
| \displaystyle y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9} |
und ersetzen y mit \displaystyle 16-\frac{x}{9} in (2),
| \displaystyle \Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.} |
Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten x. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:
| \displaystyle 16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,. |
Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite
| \displaystyle x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,, |
und erhalten damit
| \displaystyle \frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.} |
Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 81/80, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:
| \displaystyle x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.} |
Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0 |
oder
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,, |
also ist
| \displaystyle x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.} |
Also hat die Gleichung die Lösungen
| \displaystyle x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.} |
Die Antwort ist also \displaystyle x=9\ \textrm{dm} (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).
Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst y und z berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit x die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.
Die Gleichung (3") gibt
| \displaystyle y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15 |
und die Gleichung (1) gibt
| \displaystyle z=54-y=54-15=39\,\textrm{.} |
Jetzt prüfen wir, ob \displaystyle x=9, \displaystyle y=15 und \displaystyle z=39 die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:
| \displaystyle \begin{align}
\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.} \end{align} |
