Lösung 4.1:10

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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First, let's decide to determine all distance in dm (decimeters), so that we have all the distances as integers.
+
Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.
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Call the length of the washing line from the trees to the hanger ''y'' and ''z'', as in the figure below, and introduce two auxiliary triangles which have ''y'' and ''z'' as their hypotenuses. (As an approximation, we suppose that the taut washing line consists of two straight parts.)
+
Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück ''y'' und ''z'', wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen ''y'' und ''z'' (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).
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<center> [[Image:4_1_10-1(5)_.gif]] </center>
+
<center>{{:4.1.10 - Solution - Two clothes-line triangles}}</center>
-
 
+
Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir
-
Because the line is 54 dm long, we have
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>|(1)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>|(1)}}
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Then, the Pythagorean theorem gives the relations
+
Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>y^2 = x^2 + 12^2\,,</math>|(2)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y^2 = x^2 + 12^2\,,</math>|(2)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3)}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3)}}
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The idea now is to solve the system of equations (1)-(3) by first eliminating ''z'', so that we get two equations which only contain ''x'' and ''y''. Then, eliminate ''y'' from one of these equations, so that we get an equation which determines ''x''.
+
Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst ''z'' eliminieren, und eine Gleichung mit nur ''x'' und ''y'' erhalten. Danach eliminieren wir ''y'', und erhalten so eine Gleichung mit nur ''x''.
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From (1), we have <math>z = 54-y</math>, and substituting this into (3) gives us the equation
+
Von (1) erhalten wir <math>z = 54-y</math>, und dies in (3) ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>(54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3')}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3')}}
-
Equations (2) and (3') together give a smaller system for ''x'' and ''y'',
+
Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten ''x'' und ''y'',
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
Zeile 29: Zeile 28:
\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align}</math>}}
\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align}</math>}}
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Expand the quadratic terms on both sides of (3'),
+
Wir erweitern die Quadraten in (3'),
{{Abgesetzte Formel||<math>54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,</math>}}
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and simplify
+
und vereinfachen
{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}
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Use (2) and replace <math>y^2</math> with <math>x^2+12</math> in this equation,
+
Wir verwenden (2) und ersetzen <math>y^2</math> mit <math>x^2+12</math> in dieser Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,.</math>}}
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which gets rid of the ''x''²-term,
+
So eliminieren wir alle''x''²-Terme:
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{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,.</math>}}
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and further simplification gives the equation
+
Durch weitere Vereinfachung erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>12x + 108y = 1728</math>|(3")}}
{{Abgesetzte Formel||<math>12x + 108y = 1728</math>|(3")}}
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If we pause for a moment and summarize the situation, we see that we have succeeded in simplifying the equation system (2) and (3') to a system (2) and (3"), where one of the equations is linear
+
Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
Zeile 56: Zeile 55:
\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align}</math>}}
\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align}</math>}}
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In this system, we can make ''y'' the subject in (3"),
+
Wir lösen ''y'' in der Gleichung (3"),
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>}}
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and substitute into (2),
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und ersetzen ''y'' mit <math>16-\frac{x}{9}</math> in (2),
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}
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This is an equation which only contains ''x'', and if we solve it, we will get our answer.
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Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ''x''. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:
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Expand the quadratic on the left-hand side,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144</math>}}
+
Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite
-
 
+
-
and collect together all terms on one side,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}
-
which gives the equation
+
und erhalten damit
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
Multiply both sides by <math>81/80</math> so that we get the equation in standard form,
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>81/80</math>, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Completing the square on the left-hand side gives
+
Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0</math>}}
-
and then
+
oder
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}
-
i.e.
+
also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}
-
This means that the equation has the solutions
+
Also hat die Gleichung die Lösungen
-
 
+
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}
+
-
The answer is thus <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (the negative root must be discarded).
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}
 +
Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).
-
To be sure that we have calculated correctly, we also look at the values of ''y'' and ''z'', and check that the original equations (1) to (3) are satisfied.
+
Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst ''y'' und ''z'' berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit ''x'' die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.
-
Equation (3") gives
+
Die Gleichung (3") gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15</math>}}
-
and equation (1) gives
+
und die Gleichung (1) gibt
{{Abgesetzte Formel||<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}
-
Now, we check that <math>x=9</math>, <math>y=15</math> and <math>z=39</math> satisfy the equations (1), (2) and (3),
+
Jetzt prüfen wir, ob <math>x=9</math>, <math>y=15</math> und <math>z=39</math> die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\textrm{LHS of (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt]
+
\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt]
-
\textrm{RHS of (1)} &= 54\,,\\[10pt]
+
\textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt]
-
\textrm{LHS of (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt]
+
\textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt]
-
\textrm{RHS of (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt]
+
\textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt]
-
\textrm{LHS of (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt]
+
\textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt]
-
\textrm{RHS of (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.}
+
\textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.

Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück y und z, wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen y und z (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).


[Image]

Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir

\displaystyle y+z=54\,\textrm{.} (1)

Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir

\displaystyle y^2 = x^2 + 12^2\,, (2)
\displaystyle z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} (3)

Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst z eliminieren, und eine Gleichung mit nur x und y erhalten. Danach eliminieren wir y, und erhalten so eine Gleichung mit nur x.

Von (1) erhalten wir \displaystyle z = 54-y, und dies in (3) ergibt

\displaystyle (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} (3')

Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten x und y,

\displaystyle \left\{ \begin{align}

& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} \end{align} \right.

\displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align}

Wir erweitern die Quadraten in (3'),

\displaystyle 54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,

und vereinfachen

\displaystyle 2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}

Wir verwenden (2) und ersetzen \displaystyle y^2 mit \displaystyle x^2+12 in dieser Gleichung

\displaystyle 2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,.

So eliminieren wir allex²-Terme:

\displaystyle 2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,.

Durch weitere Vereinfachung erhalten wir

\displaystyle 12x + 108y = 1728 (3")

Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.

\displaystyle \left\{ \begin{align}

& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & 12x+108y=1728\,\textrm{.} \end{align} \right.

\displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align}

Wir lösen y in der Gleichung (3"),

\displaystyle y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}

und ersetzen y mit \displaystyle 16-\frac{x}{9} in (2),

\displaystyle \Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}

Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten x. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:

\displaystyle 16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.

Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite

\displaystyle x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,

und erhalten damit

\displaystyle \frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 81/80, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:

\displaystyle x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt

\displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0

oder

\displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,

also ist

\displaystyle x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}

Die Antwort ist also \displaystyle x=9\ \textrm{dm} (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).

Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst y und z berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit x die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.

Die Gleichung (3") gibt

\displaystyle y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15

und die Gleichung (1) gibt

\displaystyle z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}

Jetzt prüfen wir, ob \displaystyle x=9, \displaystyle y=15 und \displaystyle z=39 die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:

\displaystyle \begin{align}

\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.} \end{align}

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