Lösung 4.1:10

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{NAVCONTENT_START}}
+
Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.
-
<center> [[Image:4_1_10-1(5)_.gif]] </center>
+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück ''y'' und ''z'', wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen ''y'' und ''z'' (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).
 +
<center>{{:4.1.10 - Solution - Two clothes-line triangles}}</center>
 +
Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir
-
First, let's decide to determine all distance in dm (decimeters), so that we have all the distances as integers.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>|(1)}}
-
Call the length of the washing line from the trees to the hanger
+
Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir
-
<math>y</math>
+
-
and
+
-
<math>z</math>, as in the figure below, and introduce two auxiliary triangles which have
+
-
<math>y</math>
+
-
and
+
-
<math>z</math>
+
-
as their hypotenuses. (As an approximation, we suppose that the taut washing line consists of two straight parts.)
+
-
Because the line is
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y^2 = x^2 + 12^2\,,</math>|(2)}}
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<math>\text{54}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3)}}
-
dm long, we have
+
 +
Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst ''z'' eliminieren, und eine Gleichung mit nur ''x'' und ''y'' erhalten. Danach eliminieren wir ''y'', und erhalten so eine Gleichung mit nur ''x''.
-
<math>y+z=54</math>
+
Von (1) erhalten wir <math>z = 54-y</math>, und dies in (3) ergibt
-
(1)
+
-
Then, Pythagoras' theorem gives the relations
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>|(3')}}
 +
Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten ''x'' und ''y'',
-
<math>y^{2}=x^{2}+12^{2}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
-
(2)
+
& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]
 +
& (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}
 +
\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align}</math>}}
-
<math>z^{2}=\left( x+6 \right)^{2}+36^{2}</math>
+
Wir erweitern die Quadraten in (3'),
-
(3)
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,</math>}}
-
The idea now is to solve the equation system (1)-(3) by first eliminating
+
und vereinfachen
-
<math>z</math>, so that we get two equations which only contain
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>. Then, eliminate
+
-
<math>y</math>
+
-
from one of these equations, so that we get an equation which determines
+
-
<math>x</math>.
+
-
From (1), we have
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>z=\text{54}-y</math>, and substituting this into (3) gives us the equation
+
 +
Wir verwenden (2) und ersetzen <math>y^2</math> mit <math>x^2+12</math> in dieser Gleichung
-
<math>\left( \text{54}-y \right)^{2}=\left( x+6 \right)^{2}+36^{2}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,.</math>}}
-
(3')
+
-
Equations (2) and (3') together give a smaller equation system for
+
So eliminieren wir alle''x''²-Terme:
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,.</math>}}
 +
Durch weitere Vereinfachung erhalten wir
-
<math>\left\{ \begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>12x + 108y = 1728</math>|(3")}}
-
& y^{2}=x^{2}+12^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \\
+
-
& \left( \text{54}-y \right)^{2}=\left( x+6 \right)^{2}+36^{2}\quad \quad \left( \text{3}' \right) \\
+
-
\end{align} \right.</math>
+
-
+
Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{ \begin{align}
 +
& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]
 +
& 12x+108y=1728\,\textrm{.}
 +
\end{align} \right.</math>|<math>\begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align}</math>}}
-
Expand the quadratic terms on both sides of (3')
+
Wir lösen ''y'' in der Gleichung (3"),
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>}}
-
<math>54^{2}-2\centerdot 54\centerdot y+y^{2}=x^{2}+2\centerdot 6\centerdot x+6^{2}+36^{2}</math>
+
und ersetzen ''y'' mit <math>16-\frac{x}{9}</math> in (2),
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}
-
and simplify
+
Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ''x''. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.</math>}}
-
<math>2916-108y+y^{2}=x^{2}+12x+1332</math>
+
Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}
-
Use (2) and replace
+
und erhalten damit
-
<math>y^{\text{2}}</math>
+
-
with
+
-
<math>x^{\text{2}}+\text{12 }</math>
+
-
in this equation,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>2916-108y+x^{2}+144=x^{2}+12x+1332</math>
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>81/80</math>, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
which gets rid of the
+
Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt
-
<math>x^{\text{2}}\text{ }</math>
+
-
term ,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0</math>}}
-
<math>2916-108y+144=12x+1332</math>
+
oder
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}
-
and further simplification gives the equation
+
also ist
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>12x+108y=1728\quad \quad \quad \quad \quad \left( \text{3}'' \right)</math>
+
Also hat die Gleichung die Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}
-
If we pause for a moment and summarize the situation, we see that we have succeeded in simplifying the equation system (2) and (3') to a system (2) and
+
Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).
-
<math>\left( \text{3}'' \right)</math>, where one of the equations is linear
+
 +
Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst ''y'' und ''z'' berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit ''x'' die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.
-
<math>\left\{ \begin{align}
+
Die Gleichung (3") gibt
-
& y^{2}=x^{2}+12^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \\
+
-
& 12x+108y=1728\quad \quad \quad \quad \quad \left( \text{3}'' \right) \\
+
-
\end{align} \right.</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15</math>}}
 +
und die Gleichung (1) gibt
-
In this system, we can make
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>y\text{ }</math>
+
-
the subject in
+
-
<math>\left( \text{3}'' \right)</math>,
+
 +
Jetzt prüfen wir, ob <math>x=9</math>, <math>y=15</math> und <math>z=39</math> die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:
-
<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt]
-
 
+
\textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt]
-
and substitute into (2):
+
\textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt]
-
 
+
\textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt]
-
 
+
\textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt]
-
<math>\left( 16-\frac{x}{9} \right)^{2}=x^{2}+144</math>
+
\textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
This is an equation which only contains
+
-
<math>x</math>, and if we solve it, we will get our answer.
+
-
 
+
-
Expand the quadratic on the left-hand side,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>16^{2}-2\centerdot 16\centerdot \frac{x}{9}+\left( \frac{x}{9} \right)^{2}=x^{2}+144</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
and collect together all terms on one side,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& x^{2}-\frac{x^{2}}{81}+\frac{32}{9}x+144-16^{2}=0 \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
which gives the equation
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\frac{80}{81}x^{2}+\frac{32}{9}x-112=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Multiply both sides by
+
-
<math>\frac{81}{80}</math>
+
-
so that we get the equation in standard form,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x^{2}+\frac{18}{5}x-\frac{567}{5}=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Completing the square on the left-hand side gives
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left( x+\frac{9}{5} \right)^{2}-\left( \frac{9}{5} \right)^{2}-\frac{567}{5}=0</math>
+
-
 
+
-
and then
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left( x+\frac{9}{5} \right)^{2}=\frac{81}{25}+\frac{567}{5}=\frac{2916}{25}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
i.e.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=-\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}}=-\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This means that the equation has the solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}</math>
+
-
and
+
-
 
+
-
<math>x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The answer is thus
+
-
<math>x=\text{9 }</math>
+
-
dm (the negative root must be discarded).
+
-
 
+
-
To be sure that we have calculated correctly, we also look at the values of
+
-
<math>y</math>
+
-
and
+
-
<math>z</math>, and check that the original equations (1) to (3) are satisfied.
+
-
 
+
-
Equation (3'') gives
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>y=16-\frac{x}{9}=16-1=15</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and equation (1) gives
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=54-y=54-15=39</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Now, we check that x=9,
+
-
<math>y</math>
+
-
=15 and z=39 satisfy the equations (1),(12) and (3).
+
-
 
+
-
LHS of (1)
+
-
<math>=15+39=54</math>
+
-
 
+
-
RHS of (1)
+
-
<math>=54</math>
+
-
 
+
-
LHS of (2)
+
-
<math>=15^{2}=225</math>
+
-
 
+
-
RHS of (2)
+
-
<math>=9^{2}+12^{2}=81+144=225</math>
+
-
 
+
-
LHS of (3)
+
-
<math>=39^{2}=1521</math>
+
-
 
+
-
RHS of (3)
+
-
<math>=\left( 9+6 \right)^{2}+36^{2}=15^{2}+36^{2}=225+1296=1521</math>
+

Aktuelle Version

Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.

Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück y und z, wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen y und z (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).


[Image]

Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir

\displaystyle y+z=54\,\textrm{.} (1)

Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir

\displaystyle y^2 = x^2 + 12^2\,, (2)
\displaystyle z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} (3)

Wir lösen jetzt die Gleichungen (1)-(3), indem wir zuerst z eliminieren, und eine Gleichung mit nur x und y erhalten. Danach eliminieren wir y, und erhalten so eine Gleichung mit nur x.

Von (1) erhalten wir \displaystyle z = 54-y, und dies in (3) ergibt

\displaystyle (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} (3')

Jetzt haben wir nurmehr die Gleichungen (2) und (3), und die Unbekannten x und y,

\displaystyle \left\{ \begin{align}

& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.} \end{align} \right.

\displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3')\end{align}

Wir erweitern die Quadraten in (3'),

\displaystyle 54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,

und vereinfachen

\displaystyle 2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}

Wir verwenden (2) und ersetzen \displaystyle y^2 mit \displaystyle x^2+12 in dieser Gleichung

\displaystyle 2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,.

So eliminieren wir allex²-Terme:

\displaystyle 2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,.

Durch weitere Vereinfachung erhalten wir

\displaystyle 12x + 108y = 1728 (3")

Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.

\displaystyle \left\{ \begin{align}

& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt] & 12x+108y=1728\,\textrm{.} \end{align} \right.

\displaystyle \begin{align}(2)\\[5pt] (3")\end{align}

Wir lösen y in der Gleichung (3"),

\displaystyle y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}

und ersetzen y mit \displaystyle 16-\frac{x}{9} in (2),

\displaystyle \Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}

Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten x. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:

\displaystyle 16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.

Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite

\displaystyle x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,

und erhalten damit

\displaystyle \frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle 81/80, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:

\displaystyle x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung auf der linken Seite ergibt

\displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0

oder

\displaystyle \Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,

also ist

\displaystyle x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}

Die Antwort ist also \displaystyle x=9\ \textrm{dm} (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).

Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst y und z berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit x die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.

Die Gleichung (3") gibt

\displaystyle y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15

und die Gleichung (1) gibt

\displaystyle z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}

Jetzt prüfen wir, ob \displaystyle x=9, \displaystyle y=15 und \displaystyle z=39 die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:

\displaystyle \begin{align}

\textrm{Linke Seite von (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (1)} &= 54\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (2)} &= 15^2 = 225\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (2)} &= 9^2 + 12^2 = 81+144 = 225\,,\\[10pt] \textrm{Linke Seite von (3)} &= 39^2 = 1521\,,\\[5pt] \textrm{Rechte Seite von (3)} &= (9+6)^2 + 36^2 = 15^2 + 36^2 = 225+1296 = 1521\,\textrm{.} \end{align}

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