Lösung 4.1:6c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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What we need to do is to rewrite the equation in the standard form
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Wir müssen die Gleichung des Kreises auf die Form
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}</math>}}
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<math>\left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}</math>
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bringen, wo wir direkt den Mittelpunkt <math>(a,b)</math> und den Radius <math>r</math> ablesen können.
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Wir klammern zuerst den Faktor <math>3</math> aus:
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because then we can read off the circle's centre
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>\left( a \right.,\left. b \right)</math>
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\left( 3x-1 \right)^{2}+\left( 3y+7 \right)^{2}
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and radius,
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&= 3^{2}\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+3^{2}\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2} \\
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<math>r</math>.
+
&= 9\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+9\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2} \\
 +
\end{align}</math>}}
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In our case, we need only take out the factor
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und dividieren danach beide Seiten durch 9. So erhalten wir die Gleichung
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<math>~\text{3}</math>
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from the brackets on the left-hand side
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2}=\tfrac{10}{9}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\begin{align}
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Nachdem die rechte Seite <math>(\sqrt{10/9}\,)^2</math> ist und der Term
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& \left( 3x-1 \right)^{2}+\left( 3y+7 \right)^{2}=3^{2}\left( x-\frac{1}{3} \right)^{2}+3^{2}\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2} \\
+
<math>(y+7/3)^{2}</math> als <math>\bigl(y-(-7/3)\bigr)^2\,.</math>
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& =9\left( x-\frac{1}{3} \right)^{2}+9\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2} \\
+
geschrieben werden kann, erhalten wir eine Gleichung in obiger Form.
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\end{align}</math>
+
 +
Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt
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<math>(1/3,-7/3)</math> und dem Radius <math>\sqrt{10/9}=\sqrt{10}/3\,.</math>
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and then divide both sides by
 
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<math>\text{9}</math>
 
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, so as to get the equation in the desired form:
 
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<center>{{:4.1.6c - Solution - The circle (3x - 1)² + (3y + 7)² = 10}}</center>
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<math>\left( x-\frac{1}{3} \right)^{2}+\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2}=\frac{10}{9}</math>
+
-
 
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Because the right-hand side can be written as
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<math>\left( \sqrt{\frac{10}{9}} \right)^{2}</math>
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and the term
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<math>\left( y+\frac{7}{3} \right)^{2}</math>
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as
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<math></math>
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-
 
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<math>\left( y-\left( -\frac{7}{3} \right) \right)^{2}</math>, the equation describes a circle with its centre at
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<math>\left( \frac{1}{3} \right.,\left. -\frac{7}{3} \right)</math>
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and radius
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<math>\sqrt{\frac{10}{9}}=\frac{\sqrt{10}}{3}</math>
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{{NAVCONTENT_START}}
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<center> [[Image:4_1_6c-2(2).gif]] </center>
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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Aktuelle Version

Wir müssen die Gleichung des Kreises auf die Form

\displaystyle \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2}=r^{2}

bringen, wo wir direkt den Mittelpunkt \displaystyle (a,b) und den Radius \displaystyle r ablesen können.

Wir klammern zuerst den Faktor \displaystyle 3 aus:

\displaystyle \begin{align}

\left( 3x-1 \right)^{2}+\left( 3y+7 \right)^{2} &= 3^{2}\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+3^{2}\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2} \\ &= 9\left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+9\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2} \\ \end{align}

und dividieren danach beide Seiten durch 9. So erhalten wir die Gleichung

\displaystyle \left( x-\tfrac{1}{3} \right)^{2}+\left( y+\tfrac{7}{3} \right)^{2}=\tfrac{10}{9}\,\textrm{.}

Nachdem die rechte Seite \displaystyle (\sqrt{10/9}\,)^2 ist und der Term \displaystyle (y+7/3)^{2} als \displaystyle \bigl(y-(-7/3)\bigr)^2\,. geschrieben werden kann, erhalten wir eine Gleichung in obiger Form.

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt \displaystyle (1/3,-7/3) und dem Radius \displaystyle \sqrt{10/9}=\sqrt{10}/3\,.


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