Lösung 4.1:4c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(3,3)</math> | Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(3,3)</math> | ||
Aktuelle Version
Die x-Achse besteht aus allen Punkten \displaystyle (x,0), wobei x die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen \displaystyle (x,0) und \displaystyle (3,3) sowie zwischen \displaystyle (5,1) und \displaystyle (x,0):
| \displaystyle \sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.} |
Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:
| \displaystyle \sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,. |
Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten
| \displaystyle (x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.} |
Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,
| \displaystyle \begin{align}
& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt] &\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.} \end{align} |
Dies ergibt \displaystyle x=2, also ist der Punkt auf der x-Achse \displaystyle (2,0)\,.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/c/b/7/cb7d65480ccd1ac61819a89caa8f1a4a.png)
Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (3,3) ist
| \displaystyle \sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10} |
und der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (5,1) ist
| \displaystyle \sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.} |
Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheinlösungen zu erhalten, da die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.
