Lösung 4.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Let the point on the ''x''-axis have coordinates <math>(x,0)</math>, where ''x'' is an unknown number. Then, using the distance formula, the distance from the point
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Die ''x''-Achse besteht aus allen Punkten <math>(x,0)</math>, wobei ''x'' die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen <math>(x,0)</math> und <math>(3,3)</math> sowie zwischen <math>(5,1)</math> und <math>(x,0)</math>:
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<math>(x,0)</math> to <math>(3,3)</math> and <math>(5,1)</math> is given by
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{{Displayed math||<math>\sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{and}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.}</math>}}
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respectively. Because these two distances should be the same, we get the equation
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Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:
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{{Displayed math||<math>\sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,.</math>}}
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or, if we take the square, so as to get rid of the square root sign,
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Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten
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{{Displayed math||<math>(x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}</math>}}
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Now, expand the squares and collect together all the terms onto one side,
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Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt]
& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt]
&\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.}
&\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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This gives that <math>x=2</math>, i.e. the point on the ''x''-axis is <math>(2,0)\,</math>.
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Dies ergibt <math>x=2</math>, also ist der Punkt auf der ''x''-Achse <math>(2,0)\,</math>.
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[[Image:4_1_4_c-1(2).gif|center]]
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<center>{{:4.1.4c - Solution - Two line segments from (2,0) to (3,3) and from (2,0) to (5,1)}}</center>
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Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(3,3)</math>
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ist
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As a final step, we check that we have calculated correctly and that the distances really are the same. The distance between <math>(2,0)</math> and <math>(3,3)</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}</math>}}
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is
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{{Displayed math||<math>\sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}</math>}}
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und der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(5,1)</math> ist
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and the distance between <math>(2,0)</math> and <math>(5,1)</math> is
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Displayed math||<math>\sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}</math>}}
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Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheinlösungen zu erhalten, da die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.
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Note: Although we squared our root equation, it is not in fact necessary to test the solution for that reason, because the expressions under the root signs are sums of squares which are never negative and therefore cannot give rise to so-called spurious roots.
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Aktuelle Version

Die x-Achse besteht aus allen Punkten \displaystyle (x,0), wobei x die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen \displaystyle (x,0) und \displaystyle (3,3) sowie zwischen \displaystyle (5,1) und \displaystyle (x,0):

\displaystyle \sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.}

Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:

\displaystyle \sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,.

Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten

\displaystyle (x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}

Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,

\displaystyle \begin{align}

& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt] &\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.} \end{align}

Dies ergibt \displaystyle x=2, also ist der Punkt auf der x-Achse \displaystyle (2,0)\,.


[Image]

Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (3,3) ist

\displaystyle \sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}

und der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (5,1) ist

\displaystyle \sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}

Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheinlösungen zu erhalten, da die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.

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