Lösung 4.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Let the point on the x-axis have coordinates
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Die ''x''-Achse besteht aus allen Punkten <math>(x,0)</math>, wobei ''x'' die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen <math>(x,0)</math> und <math>(3,3)</math> sowie zwischen <math>(5,1)</math> und <math>(x,0)</math>:
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<math>\left( x \right.,\left. 0 \right)</math>, where x is an unknown number. Then, using the distance formula, the distance from the point
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<math>\left( x \right.,\left. 0 \right)</math>
+
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to
+
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<math>\left( 3 \right.,\left. 3 \right)</math>
+
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and
+
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<math>\left( 5 \right.,\left. 1 \right)</math>
+
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is given by
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\sqrt{\left( x-3 \right)^{2}+\left( 0-3 \right)^{2}}</math>
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Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:
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and
+
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<math>\sqrt{\left( x-5 \right)^{2}+\left( 0-1 \right)^{2}}</math>
+
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,.</math>}}
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Because these two distances should be the same, we get the equation
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Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\sqrt{\left( x-3 \right)^{2}+9}=\sqrt{\left( x-5 \right)^{2}+1}</math>
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Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt]
 +
&\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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or, if we take the square, so as to get rid of the square root sign,
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Dies ergibt <math>x=2</math>, also ist der Punkt auf der ''x''-Achse <math>(2,0)\,</math>.
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<math>\left( x-3 \right)^{2}+9=\left( x-5 \right)^{2}+1</math>
+
<center>{{:4.1.4c - Solution - Two line segments from (2,0) to (3,3) and from (2,0) to (5,1)}}</center>
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Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(3,3)</math>
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ist
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Now, expand the squares and collect together all the terms onto one side:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}</math>}}
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und der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(5,1)</math> ist
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<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}</math>}}
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& x^{2}-6x+9+9=x^{2}-10x+25+1 \\
+
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& \Leftrightarrow \quad 4x-8=0 \\
+
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\end{align}</math>
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-
 
+
Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheinlösungen zu erhalten, da die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.
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This gives that
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<math>x=\text{2}</math>, i.e. the point on the x-axis is
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<math>\left( 2 \right.,\left. 0 \right)</math>.
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{{NAVCONTENT_START}}
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[[Image:4_1_4_c-1(2).gif|center]]
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{{NAVCONTENT_STOP}}
+
-
 
+
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As a final step, we check that we have calculated correctly and that the distances really are the same. The distance between
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<math>\left( 2 \right.,\left. 0 \right)</math>
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and
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<math>\left( 3 \right.,\left. 3 \right)</math>
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is
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<math>\sqrt{\left( 3-2 \right)^{2}+\left( 3-0 \right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}</math>
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+
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and the distance between
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<math>\left( 2 \right.,\left. 0 \right)</math>
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and
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<math>\left( 5 \right.,\left. 1 \right)</math>
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is
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-
 
+
-
 
+
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<math>\sqrt{\left( 5-2 \right)^{2}+\left( 1-0 \right)^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}</math>
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NOTE: Although we squared our root equation, it is not in fact necessary to test the solution for that reason, because the expressions under the root signs are sums of squares which are never negative and therefore cannot give rise to so-called false roots.
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Aktuelle Version

Die x-Achse besteht aus allen Punkten \displaystyle (x,0), wobei x die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen \displaystyle (x,0) und \displaystyle (3,3) sowie zwischen \displaystyle (5,1) und \displaystyle (x,0):

\displaystyle \sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.}

Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:

\displaystyle \sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,.

Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten

\displaystyle (x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}

Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,

\displaystyle \begin{align}

& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt] &\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.} \end{align}

Dies ergibt \displaystyle x=2, also ist der Punkt auf der x-Achse \displaystyle (2,0)\,.


[Image]

Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (3,3) ist

\displaystyle \sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}

und der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (5,1) ist

\displaystyle \sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}

Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheinlösungen zu erhalten, da die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.

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