Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 07:04, 21. Aug. 2008 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (07:42, 20. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Tek (Diskussion | Beiträge) (Replaced figure with metapost figure)
(Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Die ''x''-Achse besteht aus allen Punkten <math>(x,0)</math>, wobei ''x'' die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen <math>(x,0)</math> und <math>(3,3)</math> sowie zwischen <math>(5,1)</math> und <math>(x,0)</math>:
-	[[Image:4_1_4_c-1(2).gif|center]]	+
-	<center> [[Image:4_1_4c-1(2).gif]] </center>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.}</math>}}
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:
-	<center> [[Image:4_1_4c-2(2).gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,.</math>}}
		+
		+	Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	& x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt]
		+	&\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}
		+
		+	Dies ergibt <math>x=2</math>, also ist der Punkt auf der ''x''-Achse <math>(2,0)\,</math>.
		+
		+
		+	<center>{{:4.1.4c - Solution - Two line segments from (2,0) to (3,3) and from (2,0) to (5,1)}}</center>
		+
		+	Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(3,3)</math>
		+	ist
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}</math>}}
		+
		+	und der Abstand zwischen <math>(2,0)</math> und <math>(5,1)</math> ist
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheinlösungen zu erhalten, da die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.

---

Aktuelle Version

Die x-Achse besteht aus allen Punkten \displaystyle (x,0), wobei x die Unbekannte sei. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir den Abstand zwischen \displaystyle (x,0) und \displaystyle (3,3) sowie zwischen \displaystyle (5,1) und \displaystyle (x,0):

\displaystyle \sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}\qquad\text{und}\qquad \sqrt{(x-5)^2+(0-1)^2}\,\textrm{.}

Nachdem die beiden Abstände gleich sein sollen, erhalten wir:

\displaystyle \sqrt{(x-3)^2+9} = \sqrt{(x-5)^2+1}\,.

Wir quadrieren diese Gleichung und erhalten

\displaystyle (x-3)^2 + 9 = (x-5)^2+1\,\textrm{.}

Wir erweitern alle Terme und schreiben danach alle auf eine Seite,

\displaystyle \begin{align} & x^2-6x+9+9 = x^2-10x+25+1\\[5pt] &\quad\Leftrightarrow\quad 4x-8=0\,\textrm{.} \end{align}

Dies ergibt \displaystyle x=2, also ist der Punkt auf der x-Achse \displaystyle (2,0)\,.

Zum Schluss kontrollieren wir, ob die beiden Abstände auch wirklich gleich sind. Der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (3,3) ist

\displaystyle \sqrt{(3-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}

und der Abstand zwischen \displaystyle (2,0) und \displaystyle (5,1) ist

\displaystyle \sqrt{(5-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}\,\textrm{.}

Hinweis: Obwohl wir unsere Gleichung quadriert haben, besteht kein Risiko Scheinlösungen zu erhalten, da die Quadrate in der Wurzel immer positiv sind.