Lösung 2.3:10b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel
Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel
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<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben, und daher definiert sie das Gebiet Unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.
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<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.
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|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x²}}
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|align="center"|<small>Das Gebiet y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''²</small>
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Es scheint so zu sein, als liegt die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt.
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Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt.
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|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x² and x ≤ 2y - 3}}
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Wir kontrollieren ob so auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied
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Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied
{{Abgesetzte Formel||
{{Abgesetzte Formel||
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<math>y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}
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<math>y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}
Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir
Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Wir sehen hier dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist, und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer als, oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalt der Gerade.
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Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

Aktuelle Version

Die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} definiert das Gebiet unter der Parabel \displaystyle y=1-x^{2}. Die andere Ungleichung \displaystyle x\ge 2y-3 können wir wie \displaystyle y\le x/2+3/2 schreiben und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade \displaystyle y=x/2+3/2.


[Image]

 

[Image]

Das Gebiet y ≤ 1 - x² Das Gebiet x ≥ 2y - 3

Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} auch die Ungleichung \displaystyle y\le x/2+3/2 erfüllt.


[Image]

Das Gebiet y ≤ 1 - x² und x ≥ 2y - 3

Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der y-Wert der Gerade immer größer als der y-Wert der Parabel für denselben x-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied

\displaystyle y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}

Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} &= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt] &= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{7}{16} \end{align}

Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem \displaystyle \tfrac{7}{16} positiv ist und \displaystyle \bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2} immer größer oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

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