Lösung 2.3:10b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Aktuelle Version (13:47, 19. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
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The inequality <math>y\le 1-x^{2}</math> defines the area under and on the curve
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Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel
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<math>y=1-x^{2}</math>, which is a parabola with a maximum at (0,1). We can rewrite the other inequality <math>x\ge 2y-3</math> as <math>y\le x/2+3/2</math> and it defines the area under and on the straight line <math>y=x/2+3/2</math>.
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<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.
{| align="center"
{| align="center"
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|align="center"|[[Image:2_3_10_b1-1.gif|center]]
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|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x²}}
|width="10px"|&nbsp;
|width="10px"|&nbsp;
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|align="center"|[[Image:2_3_10_b1-1.gif|center]]
+
|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region x ≤ 2y - 3}}
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|align="center"|<small>The region y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''²</small>
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|align="center"|<small>Das Gebiet y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''²</small>
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||
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|align="center"|<small>The region x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small>
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|align="center"|<small>Das Gebiet x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small>
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Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt.
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Of the figures above, it seems that the region associated with the parabola lies completely under the line <math>y=x/2+3/2</math> and this means that the area under the parabola satisfies both inequalities.
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{| align="center"
{| align="center"
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|align="center"|[[Image:2_3_10_b2.gif|center]]
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|align="center"|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x² and x ≤ 2y - 3}}
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|align="center"|<small>The region y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''² and x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small>
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|align="center"|<small>Das Gebiet y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''² und x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small>
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Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied
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Note: If you feel unsure about whether the parabola really does lie under the line, i.e. that it just happens to look as though it does, we can investigate if the ''y''-values on the line <math>y_{\scriptstyle\text{line}} = x/2+3/2</math> is always larger than the corresponding ''y''-value on the parabola <math>y_{\scriptstyle\text{parabola}} = 1-x^{2}</math> by studying the difference between them
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{{Abgesetzte Formel||
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<math>y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}
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{{Displayed math||
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<math>y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}
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If this difference is positive regardless of how ''x'' is chosen, then we know that the line's ''y''-value is always greater than the parabola's ''y''-value. After a little simplification and completing the square, we have
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Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}}
+
y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}}
&= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt]
&= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt]
&= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt]
&= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and this expression is always positive because <math>\tfrac{7}{16}</math> is a positive number and <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> is a quadratic which is never negative. In other words, the parabola is completely under the line.
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Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

Aktuelle Version

Die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} definiert das Gebiet unter der Parabel \displaystyle y=1-x^{2}. Die andere Ungleichung \displaystyle x\ge 2y-3 können wir wie \displaystyle y\le x/2+3/2 schreiben und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade \displaystyle y=x/2+3/2.


[Image]

 

[Image]

Das Gebiet y ≤ 1 - x² Das Gebiet x ≥ 2y - 3

Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung \displaystyle y\le 1-x^{2} auch die Ungleichung \displaystyle y\le x/2+3/2 erfüllt.


[Image]

Das Gebiet y ≤ 1 - x² und x ≥ 2y - 3

Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der y-Wert der Gerade immer größer als der y-Wert der Parabel für denselben x-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied

\displaystyle y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}

Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} &= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt] &= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{7}{16} \end{align}

Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem \displaystyle \tfrac{7}{16} positiv ist und \displaystyle \bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2} immer größer oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

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