Lösung 2.3:9b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
The points of intersection are those points on the curve which also lie on the
+
Die Schnittpunkte sind die Punkte, die auf der Parabel und auf der ''x''-Achse liegen, und also die beiden Gleichungen <math>y=x^{2}-5x+6</math> und <math>y=0</math> erfüllen:
-
<math>~x</math>
+
-
-axis, i.e. they are those points which satisfy both the equation of the curve
+
-
<math>y=x^{\text{2}}-\text{5}x+\text{6}</math>
+
-
and the equation of the
+
-
<math>~x</math>
+
-
-axis
+
-
<math>y=0</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
y&=x^{2}-5x+6\,,\\
 +
y&=0\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>\left\{ \begin{matrix}
+
Wir erhalten direkt, dass <math>y=0</math> und dass <math>x</math> die Gleichung <math>x^{2}-5x+6=0\,</math> erfüllt. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
-
y=x^{\text{2}}-\text{5}x+\text{6} \\
+
-
y=0\quad \quad \quad \quad \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^{2} - 5x + 6 &= \Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} + 6\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt]
 +
&= \Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4}
 +
\end{align}</math>}}
-
This system of equations gives directly that
+
Dies ergibt die Lösungen <math>x=\tfrac{5}{2}\pm\tfrac{1}{2}</math>, also <math>x=\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{2}=2</math> und <math>x=\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{2}=3</math>.
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<math>y=0</math>
+
-
and that
+
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<math>~x</math>
+
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must satisfy the second-order equation
+
-
<math>x^{\text{2}}-\text{5}x+\text{6}=0</math>
+
-
. By completing the square, we obtain that the left-hand side is
+
 +
Die Schnittpunkte sind also (2,0) und (3,0).
-
<math>\begin{align}
 
-
& x^{\text{2}}-\text{5}x+\text{6}=\left( x-\frac{5}{2} \right)^{2}-\left( \frac{5}{2} \right)^{2}+6 \\
 
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& =\left( x-\frac{5}{2} \right)^{2}-\frac{25}{4}+\frac{24}{4}=\left( x-\frac{5}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4} \\
 
-
\end{align}</math>
 
-
 
+
<center>{{:2.3.9b - Solution - The parabola y = x² - 5x + 6 and points (2,0) and (3,0)}}</center>
-
and this gives that the equation has solutions
+
-
 
+
-
<math>x=\frac{5}{2}\pm \frac{1}{2}</math>, i.e.
+
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<math>x=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=\frac{4}{2}=2</math>
+
-
and
+
-
<math>x=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3</math>.
+
-
 
+
-
The intersection points are therefore
+
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<math>\left( 2 \right.,\left. 0 \right)</math>
+
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and
+
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<math>\left( 3 \right.,\left. 0 \right)</math>.
+
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+
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{{NAVCONTENT_START}}
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<center> [[Image:2_3_9b-2(2).gif]] </center>
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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Aktuelle Version

Die Schnittpunkte sind die Punkte, die auf der Parabel und auf der x-Achse liegen, und also die beiden Gleichungen \displaystyle y=x^{2}-5x+6 und \displaystyle y=0 erfüllen:

\displaystyle \left\{\begin{align}

y&=x^{2}-5x+6\,,\\ y&=0\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir erhalten direkt, dass \displaystyle y=0 und dass \displaystyle x die Gleichung \displaystyle x^{2}-5x+6=0\, erfüllt. Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

x^{2} - 5x + 6 &= \Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} + 6\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{25}{4} + \frac{24}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} \end{align}

Dies ergibt die Lösungen \displaystyle x=\tfrac{5}{2}\pm\tfrac{1}{2}, also \displaystyle x=\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{2}=2 und \displaystyle x=\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{2}=3.

Die Schnittpunkte sind also (2,0) und (3,0).


[Image]

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