Lösung 2.2:9c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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First, we draw the regions which the various inequalities define.
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Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.
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|align="center"|[[Image:2_2_9_c-1(5)_1.gif|center]]
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|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region x + y ≥ 2}}
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|align="center"|[[Image:2_2_9_c-1(5)_2.gif|center]]
+
|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region 2x - y ≤ 2}}
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|align="center"|<small>The region ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;≥&nbsp;-2</small>
+
|align="center"|<small>Das Gebiet ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;≥&nbsp;-2</small>
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|align="center"|<small>The region 2''x''&nbsp;-&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
+
|align="center"|<small>Das Gebiet 2''x''&nbsp;-&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
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|align="center"|[[Image:2_2_9_c-1(5)_3.gif|center]]
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|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region 2y - x ≤ 2}}
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|align="center"|<small>The region 2''y''&nbsp;-&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
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|align="center"|<small>Das Gebiet 2''y''&nbsp;-&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
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The triangle is defined as those points which satisfy all inequalities, which is the region which the three grey areas have in common.
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Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.
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[[Image:2_2_9_c-2(5).gif|center]]
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<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle defined by x + y ≥ 2, 2x - y ≤ 2 and 2y - x ≤ 2}}</center>
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Before we start thinking about how we should calculate the area of the triangle, we must determine the corner points of the triangle.
+
Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.
-
If we write equations for the edges in pairs
+
Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen
{{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
{{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad
(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad
-
\text{and}\qquad
+
\text{und}\qquad
(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}
(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}
-
we obtain an equation system which determines the points of intersections between respective pairs of lines, and these points correspond to the triangle's corners.
 
<ol>
<ol>
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<li>We can solve the first system by summing the two equations:
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<li>Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
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Thus, we obtain <math>x=0</math> and, from the equation <math>x+y=-2</math>, that <math>y=-2</math>.</li>
+
So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der Gleichung <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li>
-
<li>In the same way, we sum the equations in the second system,
+
<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
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||
||
||
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|align="right"|<math>3x</math>
+
|align="right"|<math>3y</math>
||<math>{}={}</math>
||<math>{}={}</math>
|align="right"|<math>0</math>
|align="right"|<math>0</math>
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|}
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which gives <math>y=0</math> and <math>x=-2</math>.</li>
+
Wir erhalten also <math>y=0</math> und <math>x=-2</math>.</li>
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<li>The final equation system is a little trickier to solve, but if we make ''y'' the subject in the first equation, so that <math>y=2x-2</math>, and substitute it into the second equation, we get
+
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{{Abgesetzte Formel||<math>-x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}
+
<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.
-
The corresponding value for ''y'' is <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}
 +
 
 +
Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>
</ol>
</ol>
-
The triangle's corner points are thus (0,-2), (-2,0) and (2,2).
+
Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).
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+
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[[Image:2_2_9_c-3(5).gif|center]]
 
 +
<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle with vertices in (-2,0), (0,-2) and (2,2)}}</center>
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The problem we have in calculating the area of the triangle with the formula
 
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \tfrac{1}{2}\text{(base)}\cdot\text{(height)}</math>}}
+
Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung
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is that there is no natural base for the triangle, since none of the edges are parallel with any of the coordinate axes. On the other hand, what we can do is to divide up the triangle along the ''y''-axis and obtain two sub-triangles where we use the ''y''-axis as the base.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}
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berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.
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[[Image:2_2_9_c-4(5).gif|center]]
 
 +
<center>{{:2.2.9c - Solution - Two triangles with a common vertex in (0,A)}}</center>
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This division creates a new corner point for the triangles (marked A in the figure above) and we can determine it to be the intersection point between the line
+
Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist
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<math>2y-x=\text{2 }</math> and the ''y''-axis
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}
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which gives that the new corner point is at (0,1).
+
Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).
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We now have all the information we need for calculating the base, height and area of the two sub-triangles.
+
Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen
{| align="center"
{| align="center"
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|colspan=3 align="center"|[[Image:2_2_9_c-5(5)-1.gif]]
+
|colspan=3 align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The left-most triangles with a base and height}}
||
||
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|colspan=3 align="center"|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]]
+
|colspan=3 align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The right-most triangles with a base and height}}
|-
|-
-
|align="right"|base
+
|align="right"|Basis
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
|width="10"|&nbsp;
|width="10"|&nbsp;
-
|align="right"|base
+
|align="right"|Basis
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
|-
|-
-
|align="right"|height
+
|align="right"|Höhe
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="left"|0&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;2
|align="left"|0&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;2
|width="10"|&nbsp;
|width="10"|&nbsp;
-
|align="right"|height
+
|align="right"|Höhe
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="left"|2&nbsp;-&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;2
|align="left"|2&nbsp;-&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;2
|-
|-
-
|align="right"|area
+
|align="right"|Fläche
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
||
||
-
|align="right"|area
+
|align="right"|Fläche
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
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-
Finally, it remains only to add up the sub-areas to get the total area of the triangle:
+
Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.

[Image]

[Image]

Das Gebiet x + y ≥ -2 Das Gebiet 2x - y ≤ 2

[Image]

Das Gebiet 2y - x ≤ 2

Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.


[Image]


Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.

Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen

\displaystyle (1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad

(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{und}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.


  1. Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle 2x \displaystyle {}-{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    So erhalten wir also \displaystyle x=0, und von der Gleichung \displaystyle x+y=-2 erhalten wir \displaystyle y=-2.
  2. Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle -x \displaystyle {}+{} \displaystyle 2y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3y \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    Wir erhalten also \displaystyle y=0 und \displaystyle x=-2.
  3. Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir y in der zweiten Gleichung mit \displaystyle 2x-2 ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach x in die erste Gleichung einsetzen.
    \displaystyle -x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}
    Und also ist \displaystyle y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}

Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).


[Image]


Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}

berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur x- oder y-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der y-Achse ist.


[Image]

Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade \displaystyle 2y-x=\text{2 } und der y-Achse ist

\displaystyle \left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.

Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).

Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen


[Image]

[Image]

Basis  =  1 - (-2) = 3   Basis  =  1 - (-2) = 3
Höhe  =  0 - (-2) = 2   Höhe  =  2 - 0 = 2
Fläche  =  ½·3·2 = 3 Fläche  =  ½·3·2 = 3


Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:

\displaystyle \text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}
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