Lösung 2.2:9c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
First, we draw the regions which the various inequalities define.
+
Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.
-
[[Image:2_2_9_c-1(5)_1.gif|center]]
+
-
[[Image:2_2_9_c-1(5)_2.gif|center]]
+
{| align="center"
 +
|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region x + y ≥ 2}}
 +
|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region 2x - y ≤ 2}}
 +
|-
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;≥&nbsp;-2</small>
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet 2''x''&nbsp;-&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
 +
|-
 +
|align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The region 2y - x ≤ 2}}
 +
|-
 +
|align="center"|<small>Das Gebiet 2''y''&nbsp;-&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;2</small>
 +
|}
-
[[Image:2_2_9_c-1(5)_3.gif|center]]
+
Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.
-
The triangle is defined as those points which satisfy all inequalities, which is the region which the three grey areas have in common.
+
-
[[Image:2_2_9_c-2(5).gif|center]]
 
-
Before we start thinking about how we should calculate the area of the triangle, we must determine the corner points of the triangle.
+
<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle defined by x + y ≥ 2, 2x - y ≤ 2 and 2y - x ≤ 2}}</center>
-
If we write equations for the edges in pairs,
 
 +
Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.
-
<math>\left( 1 \right)\left\{ \begin{matrix}
+
Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen
-
x+y=-2 \\
+
-
2x-y=2 \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
-
+
-
<math>\left( 2 \right)\left\{ \begin{matrix}
+
-
x+y=-2 \\
+
-
-x+2y=2 \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
-
+
-
<math>\left( 3 \right)\left\{ \begin{matrix}
+
-
2x-y=2 \\
+
-
-x+2y=2 \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
 +
(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad
 +
\text{und}\qquad
 +
(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}
-
we obtain an equation system which determines the points of intersections between respective pairs of lines, and these points correspond to the triangle's corners.
 
-
1) We can solve the first system by summing the two equations:
+
<ol>
 +
<li>Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
|align="right"|<math>y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>-2</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>+\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>2x</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
||<math>y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>2</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
|align="right"|<math>3x</math>
 +
||
 +
||
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>0</math>
 +
|}
 +
So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der Gleichung <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li>
 +
<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
|align="right"|<math>y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>-2</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>+\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>-x</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
||<math>2y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>2</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
||
 +
||
 +
|align="right"|<math>3y</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>0</math>
 +
|}
-
<math>\begin{align}
+
Wir erhalten also <math>y=0</math> und <math>x=-2</math>.</li>
-
& \begin{matrix}
+
-
{} & x & + & y & = & -2 \\
+
-
+ & 2x & - & y & = & 2 \\
+
-
- & - & - & - & - & - \\
+
-
{} & 3x & {} & {} & = & 0 \\
+
-
\end{matrix} \\
+
-
& \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.
-
Thus, we obtain
+
{{Abgesetzte Formel||<math>-x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>x=0\text{ }</math>
+
-
and, from the equation
+
-
<math>x+y=-\text{2}</math>, that
+
-
<math>y=-\text{2}</math>.
+
-
2) In the same way, we sum the equations in the second system,
+
Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>
 +
</ol>
 +
Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).
-
<math>\begin{align}
 
-
& \begin{matrix}
 
-
{} & x & + & y & = & -2 \\
 
-
+ & -x & + & 2y & = & 2 \\
 
-
- & - & - & - & - & - \\
 
-
{} & {} & 3y & {} & = & 0 \\
 
-
\end{matrix} \\
 
-
& \\
 
-
\end{align}</math>
 
-
which gives
+
<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle with vertices in (-2,0), (0,-2) and (2,2)}}</center>
-
<math>y=0</math>
+
-
and
+
-
<math>x=-\text{2}</math>.
+
-
3) The final equation system is a little trickier to solve, but if we make
 
-
<math>y</math>
 
-
the subject in the first equation, so that
 
-
<math>y=\text{2}x-\text{2}</math>, and substitute it into the second equation, we get
 
 +
Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung
-
<math>-x+\left( 2x-2 \right)\ \Leftrightarrow \ 3x-4=2\ \Leftrightarrow \ x=2</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}
 +
berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.
-
The corresponding value for
 
-
<math>y</math>
 
-
is
 
-
<math>y=\text{2}\centerdot \text{2-2}=\text{2}</math>.
 
-
The triangle's corner points are thus
+
<center>{{:2.2.9c - Solution - Two triangles with a common vertex in (0,A)}}</center>
-
<math>\left( 0,-\text{2} \right)</math>,
+
-
<math>\left( -\text{2},0 \right)</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( \text{2},\text{2} \right)</math>.
+
-
[[Image:2_2_9_c-3(5).gif|center]]
+
Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist
-
The problem we have in calculating the area of the triangle with the formula
+
-
Area=
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}
-
<math>\frac{1}{2}</math>
+
-
(base)∙(height)
+
-
is that there is no natural base for the triangle, since none of the edges are parallel with any of the
+
Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).
-
coordinate axes. On the other hand, what we can do is to divide up the triangle along the
+
-
<math>y</math>
+
-
-axis and obtain two sub-triangles where we use the
+
-
<math>y</math>
+
-
-axis as the base.
+
 +
Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen
-
[[Image:2_2_9_c-4(5).gif|center]]
+
{| align="center"
 +
|colspan=3 align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The left-most triangles with a base and height}}
 +
||
 +
|colspan=3 align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The right-most triangles with a base and height}}
 +
|-
 +
|align="right"|Basis
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
 +
|width="10"|&nbsp;
 +
|align="right"|Basis
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
 +
|-
 +
|align="right"|Höhe
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|0&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;2
 +
|width="10"|&nbsp;
 +
|align="right"|Höhe
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|2&nbsp;-&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;2
 +
|-
 +
|align="right"|Fläche
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
 +
||
 +
|align="right"|Fläche
 +
|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
 +
|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
 +
|}
-
This division creates a new corner point for the triangles (marked A in the figure above) and we can determine it to be the intersection point between the line
 
-
<math>2y-x=\text{2 }</math>
 
-
and the
 
-
<math>y</math>
 
-
-axis
 
 +
Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:
-
<math>\left\{ \begin{matrix}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}
-
2y-x=\text{2 } \\
+
-
\quad x=0 \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
which gives that the new corner point is at
+
-
<math>\left( 0,\text{1} \right)</math>.
+
-
 
+
-
We now have all the information we need for calculating the base, height and area of the two sub-triangles.
+
-
 
+
-
 
+
-
[[Image:2_2_9_c-5(5).gif|center]]
+
-
 
+
-
Finally, it remains only to add up the sub-areas to get the total area of the triangle:
+
-
 
+
-
Area
+
-
<math>=\text{3}+\text{3}=\text{6}</math>.
+

Aktuelle Version

Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.

[Image]

[Image]

Das Gebiet x + y ≥ -2 Das Gebiet 2x - y ≤ 2

[Image]

Das Gebiet 2y - x ≤ 2

Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.


[Image]


Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.

Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen

\displaystyle (1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad

(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{und}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.


  1. Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle 2x \displaystyle {}-{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    So erhalten wir also \displaystyle x=0, und von der Gleichung \displaystyle x+y=-2 erhalten wir \displaystyle y=-2.
  2. Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle -x \displaystyle {}+{} \displaystyle 2y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3y \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    Wir erhalten also \displaystyle y=0 und \displaystyle x=-2.
  3. Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir y in der zweiten Gleichung mit \displaystyle 2x-2 ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach x in die erste Gleichung einsetzen.
    \displaystyle -x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}
    Und also ist \displaystyle y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}

Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).


[Image]


Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}

berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur x- oder y-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der y-Achse ist.


[Image]

Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade \displaystyle 2y-x=\text{2 } und der y-Achse ist

\displaystyle \left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.

Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).

Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen


[Image]

[Image]

Basis  =  1 - (-2) = 3   Basis  =  1 - (-2) = 3
Höhe  =  0 - (-2) = 2   Höhe  =  2 - 0 = 2
Fläche  =  ½·3·2 = 3 Fläche  =  ½·3·2 = 3


Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:

\displaystyle \text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}
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