Lösung 2.2:9c

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Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.
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Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.
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Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.
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Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen
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{{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
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(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad
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\text{und}\qquad
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(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}
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<li>Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
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So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der Gleichung <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li>
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<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
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{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
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|align="right"|<math>x</math>
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||<math>{}+{}</math>
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|align="right"|<math>y</math>
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||<math>{}={}</math>
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||<math>2y</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>2</math>
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||<math>{}={}</math>
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|align="right"|<math>0</math>
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|}
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Wir erhalten also <math>y=0</math> und <math>x=-2</math>.</li>
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<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>-x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}
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Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>
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</ol>
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Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).
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<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle with vertices in (-2,0), (0,-2) and (2,2)}}</center>
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Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}
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berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.
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<center>{{:2.2.9c - Solution - Two triangles with a common vertex in (0,A)}}</center>
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Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}
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Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).
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Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen
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|colspan=3 align="center"|{{:2.2.9c - Solution - The right-most triangles with a base and height}}
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|align="right"|Basis
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|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
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|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
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|align="right"|Basis
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|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
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|align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3
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|align="right"|Höhe
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|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
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|align="left"|0&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;2
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|width="10"|&nbsp;
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|align="right"|Höhe
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|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
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|align="left"|2&nbsp;-&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;2
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|-
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|align="right"|Fläche
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|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
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|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
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||
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|align="right"|Fläche
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|align="center"|&nbsp;=&nbsp;
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|align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3
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Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.

[Image]

[Image]

Das Gebiet x + y ≥ -2 Das Gebiet 2x - y ≤ 2

[Image]

Das Gebiet 2y - x ≤ 2

Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.


[Image]


Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.

Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen

\displaystyle (1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad

(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{und}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.


  1. Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle 2x \displaystyle {}-{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3x \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    So erhalten wir also \displaystyle x=0, und von der Gleichung \displaystyle x+y=-2 erhalten wir \displaystyle y=-2.
  2. Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
    \displaystyle x \displaystyle {}+{} \displaystyle y \displaystyle {}={} \displaystyle -2
    \displaystyle +\ \ \displaystyle -x \displaystyle {}+{} \displaystyle 2y \displaystyle {}={} \displaystyle 2
    \displaystyle 3y \displaystyle {}={} \displaystyle 0
    Wir erhalten also \displaystyle y=0 und \displaystyle x=-2.
  3. Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir y in der zweiten Gleichung mit \displaystyle 2x-2 ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach x in die erste Gleichung einsetzen.
    \displaystyle -x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}
    Und also ist \displaystyle y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}

Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).


[Image]


Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}

berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur x- oder y-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der y-Achse ist.


[Image]

Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade \displaystyle 2y-x=\text{2 } und der y-Achse ist

\displaystyle \left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.

Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).

Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen


[Image]

[Image]

Basis  =  1 - (-2) = 3   Basis  =  1 - (-2) = 3
Höhe  =  0 - (-2) = 2   Höhe  =  2 - 0 = 2
Fläche  =  ½·3·2 = 3 Fläche  =  ½·3·2 = 3


Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:

\displaystyle \text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}
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