Lösung 2.2:9b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Zuerst zeichnen wir die Geraden, sodass wir sehen wie das Dreieck aussieht.
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Zuerst zeichnen wir die Geraden, um zu sehen, wie das Dreieck aussieht.
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[[Image:2_2_9_b-1(3).gif|center]]
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<center>{{:2.2.9b - Solution - The lines y = 10 - 2x, x = 2y and y = 4, and the region they enclose}}</center>
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Die Ecken dieses Dreiecks, sind die Schnittpunkte des Geraden. Wir erhalten die Schnittstellen wenn wir die Gleichungen der Geraden für alle 3 Paare von geraden lösen.
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Die Ecken dieses Dreiecks sind die Schnittpunkte der Geraden. Wir erhalten die Schnittstellen, wenn wir die Gleichungen der Geraden für alle 3 Paare von Geraden lösen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=4,\end{align}\right.\qquad
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=4,\end{align}\right.\qquad
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\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=10-2y,\end{align}\right.\qquad
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\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=10-2x,\end{align}\right.\qquad
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\text{and}\qquad
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\text{und}\qquad
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\left\{\begin{align} y&=4,\\ y&=10-2y\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
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\left\{\begin{align} y&=4,\\ y&=10-2x\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
Die Gleichungssysteme haben die Lösungen <math>(x,y) = (8,4)</math>, <math>(x,y) = (4,2)</math> und <math>(x,y) = (3,4)\,</math>.
Die Gleichungssysteme haben die Lösungen <math>(x,y) = (8,4)</math>, <math>(x,y) = (4,2)</math> und <math>(x,y) = (3,4)\,</math>.
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[[Image:2_2_9_b-2(3).gif|center]]
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<center>{{:2.2.9b - Solution - A triangle with vertices in (3,4), (4,2) and (8,4)}}</center>
Die Fläche des Dreiecks bekommen wir mit der Gleichung
Die Fläche des Dreiecks bekommen wir mit der Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe),}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe),}</math>}}
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Nachdem hier eine Kante mit der ''x''-Achse parallel ist, wählen wir diese Kante als Basis des Dreiecks.
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Nachdem hier eine Kante zur ''x''-Achse parallel ist, wählen wir diese Kante als Basis des Dreiecks.
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[[Image:2_2_9_b-3(3).gif|center]]
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<center>{{:2.2.9b - Solution - A triangle with horizontal base 5 and height 2}}</center>
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Die Basis ist einfach der Unterschied zwischen den ''x''-Koordinaten (3,4) und (8,4),
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Die Basis ist Linie zwischen den ''x''-Koordinaten (3,4) und (8,4),
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{base} = 8-3 = 5</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Basis} = 8-3 = 5</math>}}
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Wir erhalten die Höhe des Dreiecks als der Unterschied zwischen den ''x''-Koordinaten von dem Punkt (4,2) und von der Gerade <math>y=4</math>
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Wir erhalten die Höhe des Dreiecks als Linie zwischen den ''x''-Koordinaten von dem Punkt (4,2) und von der Gerade <math>y=4</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{height} = 4-2 = 2\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Höhe} = 4-2 = 2\,\textrm{.}</math>}}
Die Fläche des Dreiecks ist also
Die Fläche des Dreiecks ist also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(base)}\cdot\text{(height)} = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2 = 5\,\text{u.a.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2 = 5\,\text{F.E.}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst zeichnen wir die Geraden, um zu sehen, wie das Dreieck aussieht.

[Image]

Die Ecken dieses Dreiecks sind die Schnittpunkte der Geraden. Wir erhalten die Schnittstellen, wenn wir die Gleichungen der Geraden für alle 3 Paare von Geraden lösen.

\displaystyle \left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=4,\end{align}\right.\qquad

\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=10-2x,\end{align}\right.\qquad \text{und}\qquad \left\{\begin{align} y&=4,\\ y&=10-2x\,\textrm{.}\end{align}\right.

Die Gleichungssysteme haben die Lösungen \displaystyle (x,y) = (8,4), \displaystyle (x,y) = (4,2) und \displaystyle (x,y) = (3,4)\,.


[Image]

Die Fläche des Dreiecks bekommen wir mit der Gleichung

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe),}

Nachdem hier eine Kante zur x-Achse parallel ist, wählen wir diese Kante als Basis des Dreiecks.


[Image]


Die Basis ist Linie zwischen den x-Koordinaten (3,4) und (8,4),

\displaystyle \text{Basis} = 8-3 = 5

Wir erhalten die Höhe des Dreiecks als Linie zwischen den x-Koordinaten von dem Punkt (4,2) und von der Gerade \displaystyle y=4

\displaystyle \text{Höhe} = 4-2 = 2\,\textrm{.}

Die Fläche des Dreiecks ist also

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2 = 5\,\text{F.E.}
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