Lösung 2.2:9b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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A first step is to draw the lines so that we get an overview of how the triangles look.
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Zuerst zeichnen wir die Geraden, um zu sehen, wie das Dreieck aussieht.
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[[Image:2_2_9_b-1(3).gif|center]]
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<center>{{:2.2.9b - Solution - The lines y = 10 - 2x, x = 2y and y = 4, and the region they enclose}}</center>
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The corner points of the triangle are the intersection points of the lines and we obtain those more
+
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exactly by choosing the equations of the lines in pairs and solving the resulting system of equations.
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Die Ecken dieses Dreiecks sind die Schnittpunkte der Geraden. Wir erhalten die Schnittstellen, wenn wir die Gleichungen der Geraden für alle 3 Paare von Geraden lösen.
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<math>\left\{ \begin{matrix}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=4,\end{align}\right.\qquad
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x=2y \\
+
\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=10-2x,\end{align}\right.\qquad
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y=4 \\
+
\text{und}\qquad
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\end{matrix} \right.</math>
+
\left\{\begin{align} y&=4,\\ y&=10-2x\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
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+
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<math>\left\{ \begin{matrix}
+
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x=2y \\
+
-
y=10-2y \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
-
and
+
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<math>\left\{ \begin{matrix}
+
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y=4 \\
+
-
y=10-2y \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
 +
Die Gleichungssysteme haben die Lösungen <math>(x,y) = (8,4)</math>, <math>(x,y) = (4,2)</math> und <math>(x,y) = (3,4)\,</math>.
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The first system of equations has the solution
 
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<math>\left( x,y \right)=\left( \text{8},\text{4} \right)</math>, the other has the solution
 
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<math>\left( x,y \right)=\left( \text{4},\text{2} \right)\text{ }</math>
 
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and the third
 
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<math>\left( x,y \right)=\left( \text{3},\text{4} \right)</math>.
 
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[[Image:2_2_9_b-2(3).gif|center]]
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<center>{{:2.2.9b - Solution - A triangle with vertices in (3,4), (4,2) and (8,4)}}</center>
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If we go back to the area of the triangle, which is given by the formula
+
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Area=
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Die Fläche des Dreiecks bekommen wir mit der Gleichung
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<math>\frac{1}{2}</math>
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(base)∙(height),
+
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we are completely free to choose which edge of the triangle we take as the base. Because one of the edges is parallel with the x-axis, it seems best to choose that one as the base, since then we can easily read off the length of the base and the height as the difference in coordinates of the corner points.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe),}</math>}}
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[[Image:2_2_9_b-3(3).gif|center]]
+
Nachdem hier eine Kante zur ''x''-Achse parallel ist, wählen wir diese Kante als Basis des Dreiecks.
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The base is given as the horizontal distance between
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<center>{{:2.2.9b - Solution - A triangle with horizontal base 5 and height 2}}</center>
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<math>\left( \text{3},\text{4} \right)\text{ }</math>
+
-
and
+
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<math>\text{ }\left( \text{8},\text{4} \right)</math>
+
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base=
+
Die Basis ist Linie zwischen den ''x''-Koordinaten (3,4) und (8,4),
-
<math>\text{8}-\text{3}=\text{5}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Basis} = 8-3 = 5</math>}}
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and we obtain the height in the same way as the difference in the
+
Wir erhalten die Höhe des Dreiecks als Linie zwischen den ''x''-Koordinaten von dem Punkt (4,2) und von der Gerade <math>y=4</math>
-
<math>y</math>
+
-
-direction between the base at
+
-
<math>y=\text{4 }</math>
+
-
and the corner point
+
-
<math>\left( \text{4},\text{2} \right)</math>,
+
-
height=
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Höhe} = 4-2 = 2\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\text{4}-\text{2}=\text{2}</math>.
+
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The area of the triangle is
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Die Fläche des Dreiecks ist also
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Area =
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2 = 5\,\text{F.E.}</math>}}
-
<math>\frac{1}{2}</math>
+
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(base)∙(height)=
+
-
<math>\frac{1}{2}\centerdot 5\centerdot 5</math>
+
-
 
+
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=
+
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<math>\text{5}</math>
+
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area units.
+

Aktuelle Version

Zuerst zeichnen wir die Geraden, um zu sehen, wie das Dreieck aussieht.

[Image]

Die Ecken dieses Dreiecks sind die Schnittpunkte der Geraden. Wir erhalten die Schnittstellen, wenn wir die Gleichungen der Geraden für alle 3 Paare von Geraden lösen.

\displaystyle \left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=4,\end{align}\right.\qquad

\left\{\begin{align} x&=2y,\\ y&=10-2x,\end{align}\right.\qquad \text{und}\qquad \left\{\begin{align} y&=4,\\ y&=10-2x\,\textrm{.}\end{align}\right.

Die Gleichungssysteme haben die Lösungen \displaystyle (x,y) = (8,4), \displaystyle (x,y) = (4,2) und \displaystyle (x,y) = (3,4)\,.


[Image]

Die Fläche des Dreiecks bekommen wir mit der Gleichung

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe),}

Nachdem hier eine Kante zur x-Achse parallel ist, wählen wir diese Kante als Basis des Dreiecks.


[Image]


Die Basis ist Linie zwischen den x-Koordinaten (3,4) und (8,4),

\displaystyle \text{Basis} = 8-3 = 5

Wir erhalten die Höhe des Dreiecks als Linie zwischen den x-Koordinaten von dem Punkt (4,2) und von der Gerade \displaystyle y=4

\displaystyle \text{Höhe} = 4-2 = 2\,\textrm{.}

Die Fläche des Dreiecks ist also

\displaystyle \text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\cdot\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2 = 5\,\text{F.E.}
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