Lösung 2.2:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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Let's write down the equation for a straight line as
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Die Gleichung einer Geraden lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m\,,</math>}}
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where ''k'' and ''m'' are constants which we shall determine.
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Wir wollen die Konstanten ''k'' und ''m'' bestimmen.
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Since the points (2,3) and (3,0) should lie on the line, they must also satisfy the equation of the line,
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Nachdem die Punkte (2,3) und (3,0) auf der Geraden liegen, müssen sie auch die Gleichung der Geraden erfüllen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>3=k\cdot 2+m\qquad\text{and}\qquad 0=k\cdot 3+m\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>3=k\cdot 2+m\qquad\text{und}\qquad 0=k\cdot 3+m\,\textrm{.}</math>}}
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If we take the difference between the equations, ''m'' disappears and we can work out the slope ''k'',
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Wenn wir die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren, wird ''m'' gekürzt, und wir erhallten ''k''
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Substituting this into the equation <math>0=k\centerdot 3+m</math> then gives us a value for ''m'',
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Ersetzen wir ''k'' mit -3 in der Gleichung <math>0=k\centerdot 3+m</math>, bekommen wir ''m'',
{{Abgesetzte Formel||<math>m=-3k=-3\cdot (-3)=9\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>m=-3k=-3\cdot (-3)=9\,\textrm{.}</math>}}
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The equation of the line is thus <math>y=-3x+9</math>.
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Die Gleichung der Geraden ist also <math>y=-3x+9</math>.
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<center>[[Image:S1_2_2_5_a.jpg]]</center>
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<center>{{:2.2.5a - Solution - The line y = -3x + 9 through the points (2,3) and (3,0)}}</center>
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Note. To be completely certain that we have calculated correctly, we check that the points (2,3) and (3,0) satisfy the equation of the line:
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Hinweis: Wir können unsere Lösung testen, indem wir kontrollieren ob die Punkte (2,3) und (3,0) die Gleichung der Geraden erfüllen:
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:*(''x'',''y'')&nbsp;=&nbsp;(2,3): <math>\text{LHS} = 3\ </math> and <math>\ \text{RHS} = -3\cdot 2+9 = 3\,</math>.
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:*(''x'',''y'')&nbsp;=&nbsp;(2,3): <math>\text{Linke Seite} = 3\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 2+9 = 3\,</math>.
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:*(''x'',''y'')&nbsp;=&nbsp;(3,0): <math>\text{LHS} = 0\ </math> and <math>\ \text{LHS} = -3\cdot 3+9 = 0\,</math>.
+
:*(''x'',''y'')&nbsp;=&nbsp;(3,0): <math>\text{Linke Seite} = 0\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 3+9 = 0\,</math>.

Aktuelle Version

Die Gleichung einer Geraden lautet

\displaystyle y=kx+m\,,

Wir wollen die Konstanten k und m bestimmen.

Nachdem die Punkte (2,3) und (3,0) auf der Geraden liegen, müssen sie auch die Gleichung der Geraden erfüllen.

\displaystyle 3=k\cdot 2+m\qquad\text{und}\qquad 0=k\cdot 3+m\,\textrm{.}

Wenn wir die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren, wird m gekürzt, und wir erhallten k

\displaystyle \begin{align}

3-0 &= k\cdot 2+m-(k\cdot 3+m)\,,\\[5pt] 3 &= -k\,\textrm{.} \end{align}


Ersetzen wir k mit -3 in der Gleichung \displaystyle 0=k\centerdot 3+m, bekommen wir m,

\displaystyle m=-3k=-3\cdot (-3)=9\,\textrm{.}

Die Gleichung der Geraden ist also \displaystyle y=-3x+9.

[Image]

Hinweis: Wir können unsere Lösung testen, indem wir kontrollieren ob die Punkte (2,3) und (3,0) die Gleichung der Geraden erfüllen:

  • (x,y) = (2,3): \displaystyle \text{Linke Seite} = 3\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 2+9 = 3\,.
  • (x,y) = (3,0): \displaystyle \text{Linke Seite} = 0\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 3+9 = 0\,.
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