Lösung 2.2:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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-
Let's write down the equation for a straight line as
+
Die Gleichung einer Geraden lautet
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>y=kx+m\,,</math>}}
-
<math>y=kx+m</math>
+
Wir wollen die Konstanten ''k'' und ''m'' bestimmen.
 +
Nachdem die Punkte (2,3) und (3,0) auf der Geraden liegen, müssen sie auch die Gleichung der Geraden erfüllen.
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where
+
{{Abgesetzte Formel||<math>3=k\cdot 2+m\qquad\text{und}\qquad 0=k\cdot 3+m\,\textrm{.}</math>}}
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<math>k</math>
+
-
and
+
-
<math>m</math>
+
-
are constants which we shall determine.
+
-
Since the points
+
Wenn wir die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren, wird ''m'' gekürzt, und wir erhallten ''k''
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<math>\left( 2 \right., \left. 3 \right)</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( 3 \right., \left. 0 \right)</math>
+
-
should lie on the line, they must also satisfy the equation of the line,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
3-0 &= k\cdot 2+m-(k\cdot 3+m)\,,\\[5pt]
 +
3 &= -k\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>3=k\centerdot 2+m</math>
 
-
and
 
-
<math>0=k\centerdot 3+m</math>
 
 +
Ersetzen wir ''k'' mit -3 in der Gleichung <math>0=k\centerdot 3+m</math>, bekommen wir ''m'',
-
If we take the difference between the equations,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>m=-3k=-3\cdot (-3)=9\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>m</math>
+
-
disappears and we can work out the gradient
+
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<math>k</math>,
+
 +
Die Gleichung der Geraden ist also <math>y=-3x+9</math>.
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<math>3-0=k\centerdot 2+m-\left( k\centerdot 3+m \right)</math>
+
<center>{{:2.2.5a - Solution - The line y = -3x + 9 through the points (2,3) and (3,0)}}</center>
 +
Hinweis: Wir können unsere Lösung testen, indem wir kontrollieren ob die Punkte (2,3) und (3,0) die Gleichung der Geraden erfüllen:
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<math>3=-k</math>
+
:*(''x'',''y'')&nbsp;=&nbsp;(2,3): <math>\text{Linke Seite} = 3\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 2+9 = 3\,</math>.
-
 
+
:*(''x'',''y'')&nbsp;=&nbsp;(3,0): <math>\text{Linke Seite} = 0\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 3+9 = 0\,</math>.
-
Substituting this into the equation
+
-
<math>0=k\centerdot 3+m</math>
+
-
then gives us a value for
+
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<math>m</math>,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>m=-3k=-3\centerdot \left( -3 \right)=9</math>
+
-
 
+
-
 
+
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The equation of the line is thus
+
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<math>y=-3x+9</math>.
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
NOTE: To be completely certain that we have calculated correctly, we check that the points
+
-
<math>\left( 2 \right., \left. 3 \right)</math>
+
-
and
+
-
<math>\left( 3 \right., \left. 0 \right)</math>
+
-
satisfy the equation of the line:
+
-
 
+
-
<math>\left( x \right., \left. y \right)=\left( 2 \right., \left. 3 \right)</math>: LHS=
+
-
<math>3</math>
+
-
and RHS=
+
-
<math>-3\centerdot 2+9=3</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left( x \right., \left. y \right)=\left( 3 \right., \left. 0 \right)</math>: LHS=
+
-
<math>0</math>
+
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and LHS=
+
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<math>-3\centerdot 3+9=0</math>
+
-
 
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-
 
+
-
 
+
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{{NAVCONTENT_START}}
+
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<!--<center> [[Image:2_2_5a-1(2).gif]] </center>-->
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{{NAVCONTENT_STOP}}
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{{NAVCONTENT_START}}
+
-
 
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[[Image:S1_2_2_5_a.jpg]]
+
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<!--<center> [[Image:2_2_5a-2(2).gif]] </center>-->
+
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{{NAVCONTENT_STOP}}
+

Aktuelle Version

Die Gleichung einer Geraden lautet

\displaystyle y=kx+m\,,

Wir wollen die Konstanten k und m bestimmen.

Nachdem die Punkte (2,3) und (3,0) auf der Geraden liegen, müssen sie auch die Gleichung der Geraden erfüllen.

\displaystyle 3=k\cdot 2+m\qquad\text{und}\qquad 0=k\cdot 3+m\,\textrm{.}

Wenn wir die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren, wird m gekürzt, und wir erhallten k

\displaystyle \begin{align}

3-0 &= k\cdot 2+m-(k\cdot 3+m)\,,\\[5pt] 3 &= -k\,\textrm{.} \end{align}


Ersetzen wir k mit -3 in der Gleichung \displaystyle 0=k\centerdot 3+m, bekommen wir m,

\displaystyle m=-3k=-3\cdot (-3)=9\,\textrm{.}

Die Gleichung der Geraden ist also \displaystyle y=-3x+9.

[Image]

Hinweis: Wir können unsere Lösung testen, indem wir kontrollieren ob die Punkte (2,3) und (3,0) die Gleichung der Geraden erfüllen:

  • (x,y) = (2,3): \displaystyle \text{Linke Seite} = 3\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 2+9 = 3\,.
  • (x,y) = (3,0): \displaystyle \text{Linke Seite} = 0\ und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3\cdot 3+9 = 0\,.
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