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Lösung 1.1:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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A rational number always has a decimal expansion which, after a certain decimal place, repeats itself periodically.
+
Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
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In our case, the sequence is repeated indefinitely.
+
In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.
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<center><math>3{,}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
+
<center><math>3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
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In other words, the number is rational.
+
Also ist unsere Zahl rational.
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The next problem is to rewrite the number as a fraction, for which we use the fact that multiplication by 10 moves the decimal point one place to the right.
+
Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.
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If we write
+
Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\color{red}{&#130;}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
-
then
+
und
-
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\color{red}{&#130;}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
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-
::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\color{red}{&#130;}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\color{red}{&#130;}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots</math>
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-
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\color{red}{&#130;}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
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{{NAVCONTENT_STEP}}
-
Note that, in 10000''x'' we have moved the decimal point sufficiently many places so that the decimal
+
Jetzt sieht man, dass 10000''x'' nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie ''x'' hat.
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expansion of
+
-
10000''x'' has come in phase with the decimal expansion of ''x'', i.e. they have the same
+
-
decimal expansion.
+
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Therefore,
+
Also,
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::<math>10000x-x = 31416\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
+
::<math>10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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-
::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(The decimal parts cancel out each other)
+
::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(die Nachkommastellen verschwinden)
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and as <math>10000x-x = 9999x</math> we get that
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und nachdem <math>10000x-x = 9999x</math> haben wir
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
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{{NAVCONTENT_STEP}}
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Solving for ''x'' in this relationship we find ''x'' as a quotient between two integers
+
Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
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<!--<center> [[Image:1_1_7b-1(2).gif]] </center>
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<center> [[Image:1_1_7b-2(2).gif]] </center>-->
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Aktuelle Version

Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.

3.1416 1416 1416...

Also ist unsere Zahl rational.

Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.

Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir

x=3.1416 1416 1416...

und

10x=31.4161 4161 4161...
100x=314.1614 1614 161...
1000x=3141.6141 6141 61...
10000x=31416.1416 1416 1...

Jetzt sieht man, dass 10000x nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie x hat.

Also,

10000x−x=31416.1416 1416...−3.1416 1416...
=31413(die Nachkommastellen verschwinden)

und nachdem 10000x−x=9999x haben wir

9999x=31413.

Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass

x=999931413=333310471. 
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