Lösung 1.1:7b

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A rational number always has a decimal expansion which, after a certain decimal place, repeats itself periodically.
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Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
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In our case, the sequence is repeated indefinitely.
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In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.
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<center><math>3{,}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
+
<center><math>3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math></center>
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In other words, the number is rational.
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Also ist unsere Zahl rational.
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The next problem is to rewrite the number as a fraction, for which we use the fact that multiplication by 10 moves the decimal point one place to the right.
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Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.
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If we write
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Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\color{red}{&#130;}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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then
+
und
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\color{red}{&#130;}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\color{red}{&#130;}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\color{red}{&#130;}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\color{red}{&#130;}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
+
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math>
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Note that, in 10000''x'' we have moved the decimal point sufficiently many places so that the decimal
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Jetzt sieht man, dass 10000''x'' nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie ''x'' hat.
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expansion of
+
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10000''x'' has come in phase with the decimal expansion of ''x'', i.e. they have the same
+
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decimal expansion.
+
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Therefore,
+
Also,
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::<math>10000x-x = 31416\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,{,}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
+
::<math>10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots</math>
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::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(The decimal parts cancel out each other)
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::<math>\phantom{10000x-x}{}= 31413\quad</math>(die Nachkommastellen verschwinden)
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and as <math>10000x-x = 9999x</math> we get that
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und nachdem <math>10000x-x = 9999x</math> haben wir
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math>
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Solving for ''x'' in this relationship we find ''x'' as a quotient between two integers
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Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math>
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Aktuelle Version

Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.

\displaystyle 3\textrm{.}\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

Also ist unsere Zahl rational.

Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben.

Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

und

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots
\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots

Jetzt sieht man, dass 10000x nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie x hat.

Also,

\displaystyle 10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots
\displaystyle \phantom{10000x-x}{}= 31413\quad(die Nachkommastellen verschwinden)

und nachdem \displaystyle 10000x-x = 9999x haben wir

\displaystyle 9999x = 31413\,\mbox{.}

Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass

\displaystyle x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}
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