Lösung 3.4:3a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, | + | Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren, |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}} | ||
| - | und sammeln alle Terme auf einer Seite | + | und sammeln alle Terme auf einer Seite |
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und | + | Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv. |
| - | + | Also hat die Gleichung die Lösungen | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}} | ||
Aktuelle Version
Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.} \end{align} |
Diese Gleichung entspricht
| \displaystyle x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.} |
Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,, |
und sammeln alle Terme auf einer Seite
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.} |
Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben \displaystyle e > 2 und deshalb \displaystyle \ln 2 < \ln e = 1\,. Also haben wir \displaystyle (1/\ln 2)^{2} > 1\,, daher ist die rechte Seite positiv.
Also hat die Gleichung die Lösungen
| \displaystyle x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,, |
was auch als
| \displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.} |
geschrieben werden kann.
