Lösung 3.4:3a

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Both left- and right-hand sides are positive for all values of ''x'' and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation,
+
Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{LHS} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]
+
\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]
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\text{RHS} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}
+
\text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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After a little rearranging, the equation becomes
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Diese Gleichung entspricht
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}
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We complete the square of the left-hand side,
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Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
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and move the constant terms over to the right-hand side,
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und sammeln alle Terme auf einer Seite
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
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It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that <math>e > 2</math> and that thus <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>, we must have that <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, i.e. the right-hand side is positive.
+
Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv.
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The equation therefore has the solutions
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Also hat die Gleichung die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
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which can also be written as
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was auch als
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
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 +
geschrieben werden kann.

Aktuelle Version

Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.} \end{align}

Diese Gleichung entspricht

\displaystyle x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}

Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,

und sammeln alle Terme auf einer Seite

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}

Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben \displaystyle e > 2 und deshalb \displaystyle \ln 2 < \ln e = 1\,. Also haben wir \displaystyle (1/\ln 2)^{2} > 1\,, daher ist die rechte Seite positiv.

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,

was auch als

\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}

geschrieben werden kann.

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