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Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,
-	<center> [[Image:3_4_3a-1(2).gif]] </center>	+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	{{NAVCONTENT_START}}	+	\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]
-	<center> [[Image:3_4_3a-2(2).gif]] </center>	+	\text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	\end{align}</math>}}
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		+	Diese Gleichung entspricht
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}
		+
		+	und sammeln alle Terme auf einer Seite
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}
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		+	Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv.
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		+	Also hat die Gleichung die Lösungen
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
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		+	was auch als
		+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	geschrieben werden kann.

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Aktuelle Version

Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

Linke SeiteRechte Seite=ln2−x2=−x2ln2=ln2e2x=ln2+lne2x=ln2+2xlne=ln2+2x1.

Diese Gleichung entspricht

x2+2ln2x+1=0.

Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung

x+1ln22−1ln22+1=0

und sammeln alle Terme auf einer Seite

x+1ln22=1ln22−1.

Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben e2 und deshalb ln2lne=1. Also haben wir (1ln2)21, daher ist die rechte Seite positiv.

Also hat die Gleichung die Lösungen

x=−1ln21ln22−1

was auch als

x=ln2−11−(ln2)2.

geschrieben werden kann.