Lösung 3.2:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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This equation differs from earlier examples in that it contains two root terms, in which case it is not possible to get rid of all square roots at once with one squaring, but rather we need to work in two steps.
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Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.
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Squaring once gives
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2</math>}}
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and expanding the left-hand side gives
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Wir erweitern die linke Seite, und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.</math>}}
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which, after simplification, results in the equation
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Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}}
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Moving all the terms, other than the root term, over to the right-hand side,
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Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind
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{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.</math>}}
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and squaring once again,
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Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.</math>}}
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at last gives an equation that is completely free of root signs,
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Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Expand both sides
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Wir erweitern beide Seiten und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}}
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and then cancel the common ''x''²-term,
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Die gemeinsamen <math>x^2</math>-Terme löschen sich aus und wir bekommen
{{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}}
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We can write this equation as <math>64x = 80</math>, which gives
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Diese Gleichung kann wie <math>64x = 80</math> geschrieben werden und dies ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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Because we squared our original equation (twice), we have to verify the solution
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Wir kontrollieren, ob die Wurzel <math>x=5/4</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllt:
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<math>x=5/4</math> in order to be able to rule out that we have a spurious root:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{LHS} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt]
+
\text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt]
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&= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{RHS}\,\textrm{.}
+
&= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus, the equation has the solution <math>x=5/4\,</math>.
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Also ist die Lösung <math>x=5/4\,</math>.

Aktuelle Version

Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2

Wir erweitern die linke Seite, und erhalten

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.

Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung

\displaystyle x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}

Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind

\displaystyle 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.

Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir

\displaystyle \bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.

Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.

\displaystyle 4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}

Wir erweitern beide Seiten und erhalten

\displaystyle 4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100

Die gemeinsamen \displaystyle x^2-Terme löschen sich aus und wir bekommen

\displaystyle 24x+20=-40x+100\,\textrm{.}

Diese Gleichung kann wie \displaystyle 64x = 80 geschrieben werden und dies ergibt

\displaystyle x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}

Wir kontrollieren, ob die Wurzel \displaystyle x=5/4 die ursprüngliche Gleichung erfüllt:

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt] &= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die Lösung \displaystyle x=5/4\,.

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