Lösung 3.2:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Aktuelle Version (10:20, 9. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
This equation differs from earlier examples in that it contains two root terms, in which case it is not possible to get rid of all square roots at once with one squaring, but rather we need to work in two steps.
+
Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.
-
Squaring once gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2</math>}}
-
{{Displayed math||<math>\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2</math>}}
+
Wir erweitern die linke Seite, und erhalten
-
and expanding the left-hand side gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.</math>}}
-
{{Displayed math||<math>\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16</math>}}
+
Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung
-
which, after simplification, results in the equation
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}}
+
Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind
-
Moving all the terms, other than the root term, over to the right-hand side,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.</math>}}
-
{{Displayed math||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10</math>}}
+
Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir
-
and squaring once again,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.</math>}}
-
{{Displayed math||<math>\bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2</math>}}
+
Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.
-
at last gives an equation that is completely free of root signs,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
+
Wir erweitern beide Seiten und erhalten
-
Expand both sides
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}}
-
{{Displayed math||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}}
+
Die gemeinsamen <math>x^2</math>-Terme löschen sich aus und wir bekommen
-
and then cancel the common ''x''²-term,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}}
+
Diese Gleichung kann wie <math>64x = 80</math> geschrieben werden und dies ergibt
-
We can write this equation as <math>64x = 80</math>, which gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}}
-
{{Displayed math||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}}
+
Wir kontrollieren, ob die Wurzel <math>x=5/4</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllt:
-
Because we squared our original equation (twice), we have to verify the solution
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>x=5/4</math> in order to be able to rule out that we have a spurious root:
+
\text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt]
-
 
+
&= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
-
\text{LHS} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt]
+
-
&= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{RHS}\,\textrm{.}
+
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Thus, the equation has the solution <math>x=5/4\,</math>.
+
Also ist die Lösung <math>x=5/4\,</math>.

Aktuelle Version

Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2

Wir erweitern die linke Seite, und erhalten

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.

Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung

\displaystyle x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}

Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind

\displaystyle 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.

Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir

\displaystyle \bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.

Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.

\displaystyle 4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}

Wir erweitern beide Seiten und erhalten

\displaystyle 4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100

Die gemeinsamen \displaystyle x^2-Terme löschen sich aus und wir bekommen

\displaystyle 24x+20=-40x+100\,\textrm{.}

Diese Gleichung kann wie \displaystyle 64x = 80 geschrieben werden und dies ergibt

\displaystyle x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}

Wir kontrollieren, ob die Wurzel \displaystyle x=5/4 die ursprüngliche Gleichung erfüllt:

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt] &= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die Lösung \displaystyle x=5/4\,.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6“