Lösung 3.2:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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This equation differs from earlier examples in that it contains two root terms, in which case it is not possible to get rid of all square roots at once with one squaring, but rather we need to work in two steps.
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Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.
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Squaring once gives
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2</math>}}
 +
Wir erweitern die linke Seite, und erhalten
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<math>\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x+5} \right)^{2}=4^{2}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.</math>}}
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and expanding the left-hand side with the squaring rule gives
+
Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\left( \sqrt{x+1} \right)^{2}+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+\left( \sqrt{x+5} \right)^{2}=16</math>
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Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.</math>}}
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which, after simplification, results in the equation:
+
Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.</math>}}
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<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16</math>
+
Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.
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{{Abgesetzte Formel||<math>4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Moving all the terms, other than the root term, over to the right-hand side,
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Wir erweitern beide Seiten und erhalten
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{{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}}
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<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10</math>
+
Die gemeinsamen <math>x^2</math>-Terme löschen sich aus und wir bekommen
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{{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}}
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and squaring once again,
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Diese Gleichung kann wie <math>64x = 80</math> geschrieben werden und dies ergibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\left( 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} \right)^{2}=\left( -2x+10 \right)^{2}</math>
+
Wir kontrollieren, ob die Wurzel <math>x=5/4</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllt:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt]
 +
&= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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at last gives an equation that is completely free of root signs:
+
Also ist die Lösung <math>x=5/4\,</math>.
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-
 
+
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<math>4\left( x+1 \right)\left( x+5 \right)=\left( -2x+10 \right)^{2}</math>
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+
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+
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Expand both sides
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+
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+
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<math>4\left( x^{2}+6x+5 \right)=4x^{2}-40x+100</math>
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+
-
 
+
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and then cancel the common x2-term,
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+
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<math>24x+20=-40x+100</math>
+
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+
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+
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We can write this equation as
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<math>\text{64}x=\text{8}0</math>, which gives
+
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+
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+
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<math>x=\frac{80}{64}=\frac{2^{4}\centerdot 5}{2^{6}}=\frac{5}{2^{2}}=\frac{5}{4}</math>
+
-
 
+
-
 
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Because we squared our original equation (twice), we have to verify the solution
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<math>x={5}/{4}\;</math>
+
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in order to be able to rule out that we have a false root:
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-
 
+
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LHS=
+
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+
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<math>\begin{align}
+
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& =\sqrt{\frac{5}{4}+1}+\sqrt{\frac{5}{4}+5}=\sqrt{\frac{9}{4}}+\sqrt{\frac{25}{4}} \\
+
-
& =\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=\frac{8}{2}=4= \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
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=RHS
+
-
 
+
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Thus, the equation has the solution
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<math>x={5}/{4}\;</math>.
+

Aktuelle Version

Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2

Wir erweitern die linke Seite, und erhalten

\displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.

Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung

\displaystyle x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}

Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind

\displaystyle 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.

Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir

\displaystyle \bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.

Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.

\displaystyle 4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}

Wir erweitern beide Seiten und erhalten

\displaystyle 4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100

Die gemeinsamen \displaystyle x^2-Terme löschen sich aus und wir bekommen

\displaystyle 24x+20=-40x+100\,\textrm{.}

Diese Gleichung kann wie \displaystyle 64x = 80 geschrieben werden und dies ergibt

\displaystyle x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}

Wir kontrollieren, ob die Wurzel \displaystyle x=5/4 die ursprüngliche Gleichung erfüllt:

\displaystyle \begin{align}

\text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt] &= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}

Also ist die Lösung \displaystyle x=5/4\,.

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