Lösung 3.1:6b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{(\sqrt{3}-2)^{2}-2} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}-2} = \frac{1}{5-4\sqrt{3}}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{(\sqrt{3}-2)^{2}-2} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}-2} = \frac{1}{5-4\sqrt{3}}</math>}} | ||
| - | Jetzt erweitern wir den Bruch mit <math>5+4\sqrt{3}</math> und werden somit die Wurzel im Nenner los | + | Jetzt erweitern wir den Bruch mit <math>5+4\sqrt{3}</math> und werden somit die Wurzel im Nenner los |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Wir erweitern die Quadrate im Nenner
| \displaystyle \begin{align}
(\sqrt{3}-2)^2 &= (\sqrt{3}\,)^{2} - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 2 + 2^{2}\\[5pt] &= 3-4\sqrt{3}+4\\[5pt] &= 7-4\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align} |
Daher haben wir
| \displaystyle \frac{1}{(\sqrt{3}-2)^{2}-2} = \frac{1}{7-4\sqrt{3}-2} = \frac{1}{5-4\sqrt{3}} |
Jetzt erweitern wir den Bruch mit \displaystyle 5+4\sqrt{3} und werden somit die Wurzel im Nenner los
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{5-4\sqrt{3}} &= \frac{1}{5-4\sqrt{3}}\cdot \frac{5+4\sqrt{3}}{5+4\sqrt{3}}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{5^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{5^{2}-4^{2}(\sqrt{3})^{2}}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{25-16\cdot 3}\\[5pt] &= \frac{5+4\sqrt{3}}{-23}\\[5pt] &= -\frac{5+4\sqrt{3}}{23}\,\textrm{.} \end{align} |
