Lösung 3.1:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (10:10, 9. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht eine dazwischen liegende Version mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.
Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.
-
Durch mehrfache Division mit 2 und 3, erhalten wir
+
Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 9: Zeile 9:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
und also,
+
Also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt]
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt]
-
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,,
+
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
Der Bruch kann also wie
+
Für den Bruch gilt also
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.

Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt] 18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}. \end{align}

Also

\displaystyle \begin{align}

\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] \sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,. \end{align}

Für den Bruch gilt also

\displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}

Hinweis: Wir können auch mit Potenzen rechnen

\displaystyle \begin{align}

\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} &= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}} = \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}} = \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt] &= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1} = 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:3b“