Lösung 3.1:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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When simplifying a radical expression, a common technique is to divide up the numbers under the root sign into their smallest possible integer factors and then take out the squares and see if common factors cancel each other out or can be combined together in a new way.
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Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.
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By successively dividing by 2 and 3, we see that
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Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\
96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\
&= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt]
&= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt]
Zeile 9: Zeile 9:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Thus,
+
Also
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt]
\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt]
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\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,,
+
\sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,.
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and the whole quotient can be written as
+
Für den Bruch gilt also
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{{Displayed math||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
 +
Hinweis: Wir können auch mit Potenzen rechnen
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Note: If it is difficult to work with radicals, it is possible instead to write everything in power form
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}}
&= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
&= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}}
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= \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
= \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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(In the last equality, we multiply top and bottom by <math>\sqrt{3}</math>.)
 

Aktuelle Version

Wir zerlegen alle Zahlen im Ausdruck in ihre Primfaktoren, um den Ausdruck zu vereinfachen.

Durch mehrfache Division mit 2 und 3 erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

96 &= 2\cdot 48 = 2\cdot 2\cdot 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 12 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 6\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^{5}\cdot 3,\\[5pt] 18 &= 2\cdot 9 = 2\cdot 3\cdot 3 = 2\cdot 3^{2}. \end{align}

Also

\displaystyle \begin{align}

\sqrt{96} &= \sqrt{2^{5}\cdot 3} = \sqrt{2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 3} = 2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\,,\\[5pt] \sqrt{18} &= \sqrt{2\cdot 3^{2}} = 3\cdot\sqrt{2}\,. \end{align}

Für den Bruch gilt also

\displaystyle \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} = \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.}

Hinweis: Wir können auch mit Potenzen rechnen

\displaystyle \begin{align}

\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{18}} &= \frac{96^{1/2}}{18^{1/2}} = \frac{(2^{5}\cdot 3)^{1/2}}{(2\cdot 3^{2})^{1/2}} = \frac{2^{5\cdot\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{2}}}\\[5pt] &= 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{2}-1} = 2^{2}\cdot 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\,\textrm{.} \end{align}

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