Lösung 2.3:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We rewrite the expression by completing the square:
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Wir verwenden die quadratische Ergänzung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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-x^{2}+3x-4
 +
&= -\bigl(x^{2}-3x+4\bigr)\\[5pt]
 +
&= -\Bigl(\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}+4\Bigr)\\[5pt]
 +
&= -\Bigl(\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\frac{9}{4}+\frac{16}{4}\Bigr)\\[5pt]
 +
&= -\Bigl(\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}+\frac{7}{4}\Bigr)\\[5pt]
 +
&= -\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\frac{7}{4}\,\textrm{,}
 +
\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}
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und sehen, dass hier der quadratische Term <math>-(x-\tfrac{3}{2})^{2}</math> immer kleiner als Null ist. Also ist der größte Wert der Ausdruckes <math>-7/4</math>, wenn <math>x-\tfrac{3}{2}=0\</math> ist, also <math>x=\tfrac{3}{2}\,</math>.
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& -x^{2}+3x-4=-\left( x^{2}-3x+4 \right)=-\left( \left( x-\frac{3}{2} \right)^{2}-\left( \frac{3}{2} \right)^{2}+4 \right) \\
+
-
& =-\left( \left( x-\frac{3}{2} \right)^{2}-\frac{9}{4}+\frac{16}{4} \right)=-\left( \left( x-\frac{3}{2} \right)^{2}+\frac{7}{4} \right)=-\left( x-\frac{3}{2} \right)^{2}-\frac{7}{4} \\
+
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\end{align}</math>
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+
-
 
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Now, we see that the first term
+
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<math>-\left( x-\frac{3}{2} \right)^{2}</math>
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is a quadratic with a minus sign in front, so that term is always less than or equal to zero. This means that the polynomial's largest value is
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<math>-{7}/{4}\;</math>
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and that occurs when
+
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<math>x-\frac{3}{2}=0</math>, i.e.
+
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<math>x=\frac{3}{2}</math>.
+

Aktuelle Version

Wir verwenden die quadratische Ergänzung

\displaystyle \begin{align}

-x^{2}+3x-4 &= -\bigl(x^{2}-3x+4\bigr)\\[5pt] &= -\Bigl(\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{2}+4\Bigr)\\[5pt] &= -\Bigl(\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\frac{9}{4}+\frac{16}{4}\Bigr)\\[5pt] &= -\Bigl(\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}+\frac{7}{4}\Bigr)\\[5pt] &= -\Bigl(x-\frac{3}{2}\Bigr)^{2}-\frac{7}{4}\,\textrm{,} \end{align}

und sehen, dass hier der quadratische Term \displaystyle -(x-\tfrac{3}{2})^{2} immer kleiner als Null ist. Also ist der größte Wert der Ausdruckes \displaystyle -7/4, wenn \displaystyle x-\tfrac{3}{2}=0\ ist, also \displaystyle x=\tfrac{3}{2}\,.

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