Lösung 2.2:2b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | Zuerst multiplizieren wir beide | + | Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>4\cdot 7=28</math>, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden, |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Jetzt vereinfachen wir die linke Seite | + | Jetzt vereinfachen wir die linke Seite |
| + | <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math> | ||
| + | und wir haben | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren | + | Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren |
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Die | + | Die Lösung ist <math>x={5}/{3}\,</math>. |
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren | Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | \text{ | + | \text{Linke Seite} |
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4} | &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4} | ||
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt] | = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt] | ||
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= \frac{7}{3}-\frac{1}{3} | = \frac{7}{3}-\frac{1}{3} | ||
= \frac{7-1}{3} | = \frac{7-1}{3} | ||
| - | = \frac{6}{3} = 2 = \text{ | + | = \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 4\cdot 7=28, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
| \displaystyle \begin{align}
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] &\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.} \end{align} |
Jetzt vereinfachen wir die linke Seite \displaystyle 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\, und wir haben
| \displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.} |
Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren
| \displaystyle \begin{align}
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] -3x&=-5\,,\\[5pt] \frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} \end{align} |
Die Lösung ist \displaystyle x={5}/{3}\,.
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle {5}/{3} in der ursprünglichen Gleichung substituieren
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4} = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt] &= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3} = \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt] &= \frac{49}{21}-\frac{4}{12} = \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3} = \frac{7}{3}-\frac{1}{3} = \frac{7-1}{3} = \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.} \end{align} |
